1.7. Тепловое подобие

Теоремы и критерии теплового подобия

1.7. Тепловое подобие

ОСНОВЫ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ И ЭНЕРГОАУДИТА

Теория подобия – это теория моделирования или учение о подобных явлениях. Сущность теории подобия состоит в создании модели «замести­теля» того или иного явления. Существует геометрическое, механическое, тепловое подобие. В основе теории подобия лежат несколько теорем.

Первая теорема подобия (теорема Ньютона). В подобных явлениях критерии подобия одинаковы (равны).

Особенность теплового подобия процессов теплоотдачи состоит в том, что числа Нуссельта, составленные для образца и модели (помечено *), численно равны: аі/Х = а*.£*/Х* = Nu, где а и а* – соответственно коэф­фициенты теплоотдачи для образца и модели; Х и Х* – коэффициенты теп­лопроводности жидкостей; і и £* – сходственные геометрические отрезки.

Практический выход теплового подобия: зная число Нуссельта Nu из опыта на модели и не производя непосредственных измерений а в системе оригинала, можно определить коэффициент теплоотдачи:

X N

А =— Nu.

І

Вторая теорема подобия (теорема Бэкингема). Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия данного явления. Зависимости между физическими параметрами, характеризующи­ми какое-либо явление, могут быть представлены методами масштабных преобразований, анализа размерностей или др.

Третья теорема подобия (теорема Кирпичева и Гухмана). Необходи­мым и достаточным условием подобия физических явлений является подо­бие условий однозначности (заданных условий) при равенстве критериев, составленных из условий однозначности. Более конкретно смысл третьей теоремы подобия формулируется так.

1. Подобные явления происходят в геометрически подобных системах и описываются подобными уравнениями.

2. Для теплового подобия необходимо наличие физического подобия движения жидкостей.

3. При указанных условиях подобны те явления, для которых подоб­ны условия однозначности, а критерии, составленные из условий одно­значности, численно равны.

Критерии теплового подобия

Для того чтобы системы были подобны в тепловом отношении, необ­ходимо соблюсти геометрическое и физическое подобие движения жидко­стей. После предварительного выполнения этих условий должно быть осу­ществлено подобие температурных полей в модели и оригинале.

Последнее достигается благодаря реализации целого ряда мероприятий, учитывающих равенство критериев подобия, характерных для данного явления.

Применяя известную методику к системе дифференциальных уравнений и соответст­вующие условия однозначности, описывающие явление теплообмена меж­ду жидкостью и твердой поверхностью, можно получить следующие зави­симости:

Nu = f (Gr;Pr), когда движение жидкости свободное, в ограниченном или неограниченном пространстве;

Nu = f (Re; Gr; Pr), когда движение жидкости вынужденное ламинар­ное;

Nu = f (Re;Pr), когда движение жидкости вынужденное турбулентное.

Таким образом, физический процесс становится автомодельным отно­сительно какого-либо аргумента, если распределение функции, характери­зующее явление, начинает оставаться подобным самому себе при дальней­шем изменении этого аргумента.

Основные безразмерные комплексы теплового подобия

A £

Число Нуссельта Nu = — – характеризует интенсивность теплоотда-

X ж

Чи между твердой стенкой и жидкостью и определяет отношение термиче­ского сопротивления теплопроводности слоя жидкости толщиной £ к тер­мическому сопротивлению теплоотдачи; a – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 • К); £ – определяющий геометрический размер, м; Xx – коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/(м • К).

Ю £

Число Рейнольдса Re =————– – характеризует характер движения жид­кости около твердой стенки и определяет соотношение сил инерции и сил вязкости (внутреннего трения) в потоке жидкости; ю – скорость движения жидкости, м/с; £ – определяющий геометрический размер, м; vx – коэффи­циент кинематической вязкости жидкости, м2/с.

G в (Т — Т )£3

Число Грасгофа Gr =—————– ——— – характеризует отношение

V І

Подъемных сил к силам вязкости жидкости; g – ускорение свободного па­дения, м/с2; в = 1/Тж – коэффициент объемного расширения, К—'; Тс, Тж – температуры стенки и жидкости, К; £ – определяющий геометрический

Размер, м; vx – коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с.

Число Прандтля Pr = v-Jax – характеризует безразмерное теплофизи – ческое свойство жидкости; vx – коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с; ax – коэффициент температуропроводности жидкости, м2/с.

Зависимости между критериями подобия Nu, Re, Gr, Pr чаще всего представляются как степенные функции:

Nu w = C Re f Grm PrW,

Где с, n, р, к, m, f, w – постоянные числа, не имеющие размерности, опреде­ляемые, как правило, из опытов с моделями.

При расчетах процесса теплообмена критерий Нуссельта необходимо брать сходственным тому, который был принят автором, рекомендовавшим формулу в критериальном виде. Необходимо также учитывать рекомен­дуемые пределы изменения аргументов, подтверждаемые опытом, ибо та­кого рода зависимости теоретически не обосновываются.

После вычисления критерия Нуссельта для любого или данного вида теплообмена коэффициент теплоотдачи определяется по формуле:

A = — Nu.

£

Правила пользования критериальными уравнениями

1. Необходимо выяснить, для какого характера движения жидкости определяется коэффициент теплоотдачи a (движение жидкости свободное в ограниченном или неограниченном пространстве, вынужденное ламинар­ное или турбулентное). Характер движения жидкости определяется по кри­терию Re = (ffld)/v.

Поэтому в критериальном уравнении Nu w = C Ref Grm PrW для турбу­лентного режима движения р = 0, а для свободного – n = 0.

Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при опре­деленном критическом значении критерия ReHp. Например, при движении жидкости в трубах Re = 2300, при Re < 2300 - поток движении жидкости ламинарный, а при Re > 104 – турбулентный. Область значений 2300 < Rе < 104 называется переходной, при таких значениях Re поток может быть как турбулентным, так и ламинарным.

В изотермических условиях обтекания пластины переход ламинарного режима в турбулентный происходит при Re = 5 • 105, а в неизотермиче­ских – при Re = 4 • 104. При поперечном обтекании труб ReHp зависит от расположения труб в пучке (коридорное, шахматное).

2. Следует правильно выбрать определяющий размер і. В качестве

Определяющего размера в круглых трубах, а также при поперечном обтека­нии трубы и пучка труб обычно принимается диаметр цилиндрической трубы. При поперечном обтекании плиты определяющим размером служит ее длина по направлению движения жидкости.

При свободном движении для вертикальных поверхностей за определяющий размер берется высота, а для горизонтальных – наименьшая ширина плиты.

Для каналов неправиль­ного и сложного сечения надо брать эквивалентный диаметр d, равный учетверенной площади поперечного сечения канала, деленной на полный (смоченный) периметр сечения, независимо от того, какая часть этого пе­риметра участвует в теплообмене. Для круглых труб d = dK или = d, в зависимости от того, для которого определяется а.

3. Виду того, что в процессе теплообмена температура жидкости ме­няется, нужно обратить внимание на маленькие символы внизу критериев подобия, которые выбираются в зависимости от определяющей темпера­туры.

Индекс у означает, что теплофизические характеристики, входящие в структуру (отмеченного данным индексом) критерия, выбирались из спра­вочника по средней температуре жидкости. Индекс w соответствует выбору теплофизических характеристик жидкости по температуре твердой поверх­ности Тк.

Индекс т означает, что в качестве определяющей температуры принята средняя температура пограничного слоя Тт = 0,5 (у + Т„).

Средний коэффициент теплоотдачи определяется для конкретного ре­жима движения жидкости и состояния поверхности теплообмена [13]: сво­бодное движение жидкости в неограниченном или ограниченном простран­стве; ламинарное или турбулентное движение жидкости в трубах; теплоот­дача при поперечном обтекании одиночных труб или пучка труб.

Как грамотно использовать аутсорсинг? Более 2/3 компаний в мире прибегают к аутсорсингу в той или иной форме согласно последним исследованиям. Термин «аутсорсинг» происходит от английских out – «вне» и source …

1. Теплообменным аппаратом называется устройство, в котором передача теплоты осуществляется от одного – горячего теплоносителя к другому – холодному. По принципу действия теплообменные аппараты бывают: рекуперативные, регенеративные и смесительные. Рекуперативным …

1. Использование теплоты пара вторичного вскипания конденсата. Энергосбережение тепловой энергии обеспечивается за счет использо­вания теплоты от паров вторичного вскипания конденсата или от проду­вочной воды из паровых котельных агрегатов. При конденсации …

Источник: https://msd.com.ua/osnovy-energosberezheniya-i-energoaudita/teoremy-i-kriterii-teplovogo-podobiya/

Основы теории теплового подобия

1.7. Тепловое подобие

7.2.1. Подобные процессы теплоотдачи

Теория теплового подобия – это система понятий и правил, обеспечивающих возможность переноса результатов экспериментов по определению коэффициентов теплоотдачи с одних объектов на другие.

Первые понятия о подобии даются в геометрии. В случае подобия двух треугольников каждая сторона большего треугольника превосходит сходственную сторону меньшего треугольника в определенное число раз. Это число называют к о н с т а н т о й п о д о б и я. Могут быть подобными и физические процессы.

Процессы конвективного теплообмена, протекающие в различных системах, при вполне определенных условиях могут быть подобны. Эти условия теплового подобия формулируются в виде трех правил [4].

1.Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями. Так, например, процессы нагрева воды в закрытом сосуде и нагрева движущейся воды по трубе не могут считаться подобными, так как описываются различными дифференциальными уравнениями.

2.Условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковы во всем, кроме численных значений постоянных, содержащихся в этих условиях.

3.Одноименные критерии подобных процессов должны иметь одинаковую численную величину.

Третье правило требует дополнительных разъяснений. Пусть в двух системах процессы конвективного теплообмена будут подобны. Запишем дифференциальные уравнения теплоотдачи для этих процессов с соответствующими индексами:

и (7.5)

Введем константы подобия одноименных величин:

Kα = α2/α1; Kλ = λ2/λ1; Kт = Т2/Т1; Kl = n2/n1 = l2/l1,

где l – характерный геометрический размер системы.

Выразим величины второй системы через константы подобия и одноименные величины первой системы:

или

(7.6)

Уравнения (7.5) и (7.6) тождественны, так как они выражают связь между параметрами процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплоотдачи для одной и той же системы. Из условий тождественности уравнений следует, что

(7.7)

Равенство (7.7) накладывает ограничение на выбор констант для подобных явлений: определенная их комбинация должна быть равна единице.

Подставив в выражение (7.7) значения констант подобия, будем иметь:

(7.8)

Получили безразмерный комплекс величин, который для двух подобных систем имеет численно одинаковое значение. Этот безразмерный комплекс в честь немецкого ученого В. Нуссельта назван критериемНуссельта.

Таким образом, третье правило дает возможность распространить подобие на множество процессов теплообмена, отличающихся друг от друга величинами c, λ, ρ, cp, l и т.д., но имеющих численно одинаковые их комбинации.

Переход от обычных физических величин к критериям подобия, которые составлены из тех же величин, но в других сочетаниях, создает важные преимущества. Прежде всего, достигается уменьшение числа независимых переменных, участвующих в формулировке решения рассматриваемой задачи.

Это позволяет систему дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен, заменить функциональной связью между критериями подобия. Кроме того, значения критериев подобия могут быть получены как результат множества различных комбинаций величин.

Следовательно, фиксированным значениям критериев соответствует не один процесс теплоотдачи, а целая совокупность подобных процессов.

Это означает, что если функциональную связь между критериями представить в виде к р и т е р и а л ь н о г о уравнения, полученного в результате обработки экспериментальных данных теплоотдачи, то это уравнение будет справедливо и для других подобных процессов переноса тепла в пограничном слое.

Таким образом, метод теплового подобия дает возможность из дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающих теплоотдачу, создать теоретическую основу для постановки опытов и обработки результатов экспериментов при получении критериальных уравнений.

Совершенно очевидно, что теория теплового подобия наиболее плодотворно может быть использована в том случае, когда невозможно аналитическое решение.

7.2.2. Критерии теплового подобия

Под критериями теплового подобия понимают безразмерные комплексы, составленных из определенных комбинаций величин, описывающих тот или иной процесс теплоотдачи.

Ниже приведены критерии, которые наиболее распространены в теории конвективного теплообмена.

Критерий Нуссельта, ,

где α – коэффициент теплоотдачи,

l – характерный геометрический размер;

λ – коэффициент теплопроводности

Критерий Нуссельта характеризует теплообмен на границе стенка – теплоноситель и устанавливает численное отношение между интенсивностью теплоотдачи и тепловой проводимостью (λ / l) теплоносителя.

Критерий Рейнольдса,

гдеc– скорость теплоносителя;

ν – коэффициент кинематической вязкости.

Критерий Рейнольдса характеризует режим течения теплоносителя и устанавливает соотношение между силами инерции и силами вязкости.

Критерий Прандтля, ,

где – коэффициент температуропроводности.

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости, является мерой подобия температурных и скоростных полей в потоке теплоносителя. При Pr = 1 толщины теплового и динамического пограничных слоев равны, т.е. δm=δд .

Критерий Грасгофа,

где g – ускорение земного притяжения;

β – коэффициент объемного расширения теплоносителя;

T– разность температур между теплоносителем и стенкой.

Критерий Грасгофа характеризует кинематическое подобие при свободном движении теплоносителя и устанавливает соотношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости и силы молекулярного трения.

В ряд критериев подобия входит характерный геометрический размер. В качестве характерного выбирают тот геометрический размер, который определяет развитие процесса течения теплоносителя около поверхности теплоотдачи. Этот размер называют определяющим.

Для труб круглого сечения таким определяющим размером является внутренний диаметр трубы. Для каналов некруглого сечения в качестве определяющего размера выбирается эквивалентный диаметр, который вычисляется по формуле:

, (7.9)

где F – площадь поперечного сечения канала;

П – смоченный периметр нормального сечения канала.

При поперечном обтекании трубы и пучка труб в качестве определяющего размера берется наружный диаметр трубы, а при обтекании плиты – ее длина по направлению движения потока.

Входящие в критерии подобия величины, характеризующие физические свойства теплоносителя, в значительной степени зависят от его температуры. Температура же теплоносителя в процессе теплоотдачи меняется как по толщине пограничного слоя, так и вдоль поверхности теплообмена. Поэтому важно условиться, какую температуру принимать в качестве определяющей для выбора физических параметров.

В инженерной практике за определяющую принимают ту температуру, которая в технических расчетах бывает задана или легко может быть определена в эксперименте. Это либо температура в ядре потока того сечения, для которого вычисляется коэффициент теплоотдачи, либо средняя по длине канала температура теплоносителя.

7.2.3. Критериальные уравнения

Теория теплового подобия позволяет определить величину коэффициента теплоотдачи при помощи соответствующего критериального уравнения.

Критериальным называют уравнение, которое зависимость между величинами, описывающими конвективный теплообмен в дифференциальной или другой форме, представляет зависимостью между критериями подобия.

Так, например, функциональная связь

Nu = f (Re, Gr, Pr) (7.10)

представляет собой критериальное уравнение в общем виде.

Для выявления критериев, входящих в критериальные уравнения и установления функциональной связи между ними, в настоящее время используются в основном два метода: метод масштабных преобразований и метод размерностей.

Использование метода масштабных преобразований возможно при условии описания процесса конвективного теплообмена замкнутой системой дифференциальных уравнений с условиями однозначности. Подробно этот метод рассмотрен в работах [4.

6. 10].

Метод размерностей используется, когда рассматривается сложный и новый процесс, для которого еще нет аналитического описания. В этом

случае необходимо установить полный перечень существенных для процесса физических величин, т.е. тех, которые должны войти в дифференциальные уравнения и условия однозначности. Располагая списком размерных величин, можно установить список критериев подобия и вид критериального уравнения.

Пусть, например, установлены факторы, влияющие на коэффициент теплоотдачи в данной системе, т.е α = f ( c, ρ, ν, λ, cp, d ).

Допустим, что между этими величинами существует степенная функциональная связь вида

α = К сα ρb ν f λe cpr dg , (7.11)

где K – коэффициент пропорциональности (безразмерная величина).

Размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы, т.е.

Дж/(м с К)=

Составив уравнения относительно показателей степеней для каждой размерности, получим систему:

джоуль: 1 = e + r;

метр: – 2 = a – 3b + 2f – e + g;

секунда: – 1 = – a – f – e;

кельвин: – 1 = – e – r;

килограмм: 0 = b – r.

Выразим искомые величины в этой системе через a и b :

r = b

e = 1 – b

f = 1 – a – 1 + b = b – a

g = 2 – a + 3b – 2b + 2a +1 – b = a – 1.

Подставив значения a , b, e , r, и g в уравнение (7.11), получими

:

Сгруппировав величины с одинаковыми показателями степеней, выявим безразмерные комплексы:

или

(7.12)

Таким образом, используя метод размерностей, можно выявить критерии подобия и вид критериальных уравнений, описывающих подобные процессы теплоотдачи.

Использование критериальных уравнений вида (7.12) возможно, если известны значения величин К, α, b. Для их определения проводится серия опытов по экспериментальному исследованию коэффициента теплоотдачи

с измерением всех величин, входящих в критерии подобия рассматриваемого критериального уравнения. Причем от опыта к опыту параметры, влияющие на значение α, изменяются так, что диапазон изменения критериев становится существенным. Обработка результатов экспериментов ведется графоаналитическим методом. Поясним его сущность.

Предположим, что критерий Nu зависит только от критерия Re , т.е.

. (7.13)

Из серии экспериментов выбирают опытные данные для нескольких отличающихся друг от друга чисел Re и вычисляют соответствующие им значения Nu.

Расположение опытных точек на графике, где по оси ординат отложены значения Nu , а по оси абсцисс – Re, покажет характер зависимости Nu = f (Re).

Однако определить значения показателя степени и коэффициента пропорциональности K по полученному графику сложно. Задача упрощается, если выражение (7.13) линеаризировать и использовать логарифмическую систему координат.

Нанесем опытные данные на поле графика с координатами ln Nu

и ln Re , рис. 7.3. Экспериментальные точки расположатся вдоль прямой линии 1-2, которая представлена выражением (7.13) в логарифмическом виде:

ln Nu = ln K + ln Re.

Отсюда показатель степени числа Re для выражения (7.13) вычисляется как отношение катетов, т.е.

.

Коэффициент пропорциональностиопределяется из соотношения:

Рис.7.3

которому удовлетворяет любая точка прямой, (см. рис.7.3).

Eсли искомая величина Nu является функцией двух аргументов, например Nu = f(Re, Pr), то сначала при фиксированном значении Pr строят график и по нему определяют показатель при числе Re. Затем опытные данные представляют на графике в виде зависимости:

и определяют показатель степени b. Величину K находят из соотношения:

Полученные таким образом критериальные уравнения являются чисто эмпирическими. Они применимы для подобных явлений теплообмена лишь в тех пределах изменения критериев, в которых подтверждены опытом. Экстраполяция этих уравнений на большие или меньшие значения критериев, строго говоря, недопустима.

Предыдущая35363738394041424344454647484950Следующая

Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 5795; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/2-65583.html

Тепловое подобие

1.7. Тепловое подобие

Предыдущая33343536373839404142434445464748Следующая

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков. Рассмотрим две подобные системы (', “). Запишем уравнение энергии для одномерной задачи (температура меняется вдоль координаты Х), и уравнение теплообмена:

,

,

,

.

Введём постоянные подобия (константы).

Константы подобия коэффициентов температуропроводности:

; ; ; ; ; .

Заменяя переменные второй системы через переменные первой, мы получаем дифференциальное уравнение энергии и теплообмена для второй системы, записанное через переменные первой:

.

Уравнение теплообмена:

.

Выделим пять констант подобия:

,

Разделим: .

Подставляя вместо постоянных подобия их размерные величины и произведя разделение переменных, мы получаем числа теплового подобия

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr:

, (13.10)

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):

, (13.11)

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи a, и температурное поле l в пограничном слое потока.

(13.8 – 13.11) – основные числа числового подобия.

Дадим вспомогательные числа гидродинамического и теплового подобия.

Комбинируя Re и Fr можно получить число подобия Галилея:

. (13.12)

Комбинируя Ga с параметрическим числом, характеризующим неоднородное поле плотностей , получим число подобия Архимеда:

. (13.13)

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

. (13.14)

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.

При свободной конвекции вызывается неоднородностью поля температур, т.к. плотность газа зависит от температур. Поэтому в числе подобия Ar заменяется на , где b – температурный коэффициент объёмного расширения. В результате из Ar получаем число Грасгофа Gr: , (13.15)

Gr характеризует подъёмную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей (учёт свободной конвекции).

Число подобия Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. , (13.16)

где – для идеального газа,

– для реального газа.

М характеризует сжимаемость жидкости, если , то жидкость (газ) считаем несжимаемой;

St пользуется при рассмотрении развитого турбулентного течения;

Pr характеризует подобие полей скоростей и температуры в движущейся среде.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

При изучении процессов гидродинамики и теплообмена могут встретиться следующие числа подобия.

Число подобие Кирпичёва: .

(мера отношения потока тепла подводимой к поверхности тела, к потоку отводится с поверхности внутрь тела за счёт теплопроводности).

Число подобия Кондратьева: .

(характеризует отставание изменения температуры какой-либо точки тела от изменения температуры окружающей среды, m – темп охлаждения).

Число подобия Вебера: .

(критерий поверхности натяжения).

We характеризует процесс дробления вязких жидкостей при распыле их воздухом или паром в горелочных устройствах. (отношение сил поверхностного натяжения к силам тяжести).

где s – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

rк – плотность капли, кг/м3;

r – плотность воздуха или пара, кг/м3;

– размер капли (d), м.

Число подобия Лященко: .

(характеризует гидродинамическую обстановку в слое зернистого материала (кипящего слоя) при течении жидкости или газа сквозь слой твёрдого зернистого материала).

Число подобия Стокса:

характеризует процесс обтекания тел запылённым потоком газа. Является мерой отношения сил инерции и сил вязкости на движущуюся в потоке частицу. Всего обобщенных переменных в теории переноса порядка 140.

Переходя от размерных физических величин или первичным к безразмерным комплексам или критериям, исходя из второй теоремы подобия, можно записать критериальные зависимости следующего вида:

Предыдущая33343536373839404142434445464748Следующая .

Источник: https://mylektsii.ru/5-128842.html

Book for ucheba
Добавить комментарий