Динамические системы и модели

Власов м. П

Динамические системы и модели

конспектлекций по дисциплинеЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕМЕТОДЫ В КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ТЕМА№ 16

Моделированиединамических процессов

для студентов всехформ обучения

Стр.

1.Динамическиесистемы и модели ……………………………………………2

2.Системная динамика………………………………………………………… 8

3.Динамическаямодель инвестиционной деятельности инфраструктурной организации……………………………………………. 12

4. Определениеобъема спроса на основе учета особенностейиспользования продукции с длительнымциклом изготовления ……………………………24

5.Управлениеразвитием селитебных территорий крупныхгородов …….. 24

6.Динамическоепрограммирование в производственномменеджменте … 36

7.Задача распределениякапиталовложений …………………………………39

Санкт-Петербург2004-2012

1. Динамические системы и модели

Динамическаясистема или иначе эволюционная система,в широком смысле произвольная система,изменяющаяся во времени. Ее состояниев момент времени может характеризоваться упорядоченнымнабором величин,принимающих некоторые значения.Используется следующая геометрическаятерминология:-мерный вектор состоянияназывается фазовой точкой, а-мерноепространство- фазовым пространством.

Фазовая точкас изменением времениописывает в фазовом пространстветраекторию, которая называется фазовойтраекторией. Таким образом, фазовоепространство динамических систем естьпространство, которому принадлежат все(допустимые) состояния динамическойсистемы, т.е. фазовое пространство –это пространство состояний.

В прошломсостояния системы называли фазамисистемы, отсюда термин «фазовоепространство».

Динамическийподход применительно к экономическойсистеме означает исследование ееразвития в отличие от изучения еесостояния в определенный момент временипри статическом подходе и характерноеотличие этого подхода заключается вявном присутствии такой переменной каквремя. Тенденция развитияэкономико-математического моделированиянаправлена на увеличение роли динамическогоподхода.

К динамическимсистемам относится любая система,которая изменяется во времени.Математически это принято выражатьчерез переменные модели. Процессизменения переменных характеризуетсятраекторией:

,

где – это переменные модели, которые являютсяфункциями времени.

Среди таких системнаиболее простыми являются линейныединамические системы, в которых связимежду исходными данными, параметрамисостояния и результатами решения задачиносят характер линейных зависимостей.

В экономико-математическихмоделях динамические системы могутотражаться двояко:

  1. с помощью описания состояния системы в определенные моменты времени, т.е. получаются как бы моментальные снимки, называемые статическими моделями;

  2. с помощью собственно динамических моделей, описывающих процесс развития системы.

Примером первоговида молей служит межотраслевой баланс(статический), второго – модели теорииэкономического роста.

Динамическиемодели – это модели, описывающиеэкономический процесс в развитии, вотличие от статических, характеризующихсостояние системы в определенный моментвремени. Необходимость в динамическоймодели возникает, если как минимум однаее переменная относится к периодувремени, отличному от времени, к которомуотнесены другие переменные.

Динамическиенародно-хозяйственные и региональныемодели с дискретным и непрерывнымвременем (например, однопродуктовые идвухпродуктовые модели, межотраслевыемодели, абстрактные модели) – важныечастные случаи динамических систем.

В экономико-математическоммоделировании большой теоретическийи практический интерес представляютрезультаты анализа поведения во временифазовых траекторий динамических моделейэкономики.

Первоначально поддинамической системой понимали систему,изменение которой во времени описываетсясистемой обыкновенных дифференциальныхуравнений первого порядка вида

(1.1.)

Правые части системы (1.1.) не содержат в явном видевремени.Такие системы называются автономными.

При этом под теориейдинамических систем понимали теориювида (1.1.), которая называлась такжекачественной теорией обыкновенныхдифференциальных уравнений [10]. Большоеместо в этой теории занимают вопросыустойчивости и асимптотическойустойчивости положений равновесиясистем вида (1.1.).

Для того, чтобы этасистема имела постоянное решение ,необходимо и достаточно, чтобы точкаобращала в нуль правые части системы(1.1.), т.е..

Вообще говоря, качественной называетсятеория, если она представляет совокупностьрезультатов о характере поведения(изменений) решений, которые были полученыбез явного знания этих решений.

Динамическиемодели в экономике описывают изменениемоделируемой системы во времени. Поэтомувремя в динамических моделях представляетсяявно – либо как непрерывная величина,либо дискретно, конечным набором илибесконечной последовательностьюдискретных значений.

В первом случаедля величин, известных и неизвестных,меняющихся во времени, применяют обычныеобозначения для математических функций(например ,где- время,- экономический показатель).

Во втором случае,как правило, пишут или,,но иногда специфика модели требуетвводить,где- более сложно устроенное подмножествомножества целых неотрицательных чисел(например, с постоянным шагом больше 1или непостоянным шагом). Единицы измерениядискретного времени весьма разнообразны(час, смена, сутки и др.

– в календарномпланировании производства; сутки,неделя, месяц и др. – в моделях управлениязапасами, год – в моделях перспективногопланирования). При этомв непрерывном случае и()в дискретном называется периодом (атакже плановым, прогнозным, анализируемыми пр. периодом). Период называетсяконечным, если,и бесконечным при.

При этом в случае непрерывного временипериод – замкнутый интервал, т.е.бесконечное множество точек временнойоси.

Не для всех величин в динамическихмоделях обязательно предполагаетсявозможность изменения во времени, частьиз них может оказаться «закрепленной»,если величина отнесена к рассматриваемомупериоду в целом или к конкретномумоменту, чаще всего к последнему(наибольшему) значению,если период конечен.

Изменениямоделируемой системы во времени могутбыть сугубо количественными либоструктурными (качественными).

Количественныеизменения моделируются в случаях, когдаставится задача описать функционированиесистемы при рутинном (штатном) выполненииею своих функций (в календарномпланировании, управлении запасами ипр.).

Структурныеизменения отображают развитие системы,прежде всего, в перспективном планированиии прогнозировании. В этом случае попреимуществу интересуются возможнымраспределением инвестиций с цельюмодификации качественных характеристиксистемы – расширения производственныхмощностей, пропускной способности,создания новых элементов и т. п.

Динамическиемодели классифицируются по всем обычноиспользуемым в экономико-математическоммоделировании основаниям:

  • дескриптивные – прескриптивные (нормативные);
  • дискретные – непрерывные (в отношении характера изменения переменных модели и зависимости производных величин от них, а не от времени);
  • детерминистские – стохастические и т.д.

Динамическиемодели противопоставляются статическиммоделям.

Существует двапринципиально различных подхода кпостроению таких моделей. Первыйоптимизационный, состоящий в выборе изчисла возможных траекторий развитияоптимальной траектории, например,обеспечивающей максимальную прибыль.

Второй подход заключается в исследованииравновесия в экономической системе. Вэтом случае, переходя к экономическойдинамике, используют понятие «равновеснаятраектория», под которой понимаютуравновешенный сбалансированный рост.

Равновесная траектория представляетрезультат взаимодействия множествафакторов экономической системы.

Само понятиеравновесие относится к различнымситуациям и характеризуется взаимодействиемразнонаправленных сил, воздействиекоторых взаимно погашается такимобразом, что наблюдаемые свойствасистемы остаются неизменными.

Среди многочисленныхопределений равновесия экономическойсистемы наиболее распространены два:

  1. исходит из рассмотрения свойств системы;

  2. исходит из рассмотрения воздействующих сил.

Состояние равновесия– это такое состояние системы, котороехарактеризуется равенством спроса ипредложения всех ресурсов. В этом смыслесинонимом термина «равновесие» являетсясбалансированность (балансовая модель,системауравнений Вальраса).

Состояние равновесияэто такое состояние, при котором ни одиниз многих взаимосвязанных участниковсистемы не заинтересован в измененииэтого состояния, так как при этом он неможет ничего выиграть, но может проиграть(оптимальность по Парето, теория игр).

Равновесиеэкономической системы рассматриваетсядвояко: как статическое (положениесостояния), и динамическое (уравновешенный,или сбалансированный процесс развития).

Понятие равновесиятесно связано с понятием устойчивостисистемы. Если при внешнем воздействиина систему неизменность ее свойствсохраняется, то равновесие считаетсяустойчивым, в противном случае –неустойчивым.

Равновесие (рыночнаясбалансированность) называется локальноустойчивым, если оно достигается, начинаяс некоторого набора цен, достаточноблизкого к точке равновесия.

Равновесиесчитается глобально устойчивым – еслионо достигается независимо от начальнойточки.

Часто вэкономико-математическом моделировании,равновесие отождествляют с понятиемоптимума. Однако равновесие этонеобходимое, но не достаточное условиеоптимальности. Таким образом, вэкономической системе равновесие можетустанавливаться на разных уровнях(точках равновесия), в том числе и наоптимальном.

Равновесныйсбалансированный рост – понятие теорииэкономического роста, рассматриваемогос двух точек зрения.

Первая точка зрениязаключается в том, что это такой ростэкономической системы, при котором темпприроста запасов всех продуктов напротяжении рассматриваемого промежуткавремени постоянный.

При этом разграничиваютпонятия сбалансированного роста безравновесия, т.е. с избыточными запасами,и, собственно равновесного роста.

Вторая точка зренияна это понятие предполагает, что важныне одинаковые темпы развития всехподразделений фирмы или секторовэкономики, а внутренняя согласованностьэтих темпов друг с другом. В этомпредставлении понятия сбалансированногои равновесного роста совпадают.

В общем видединамические модели сводятся к описанию:

  • начального состояния системы;
  • технологических способов производства;
  • критерия оптимальности.

Каждый способопределяет множество и последовательностьиспользования ресурсов, позволяющих вединицу времени произвести заданныйнабор товаров.

Описание динамическоймодели может быть выполнено:

  • с использованием временных рядов, поведение которых описывается с помощью уравнения тренда, а также сезонных и случайных переменных. Иногда выделяется циклическая переменная. В качестве экзогенных переменных могут выступать макроэкономические зависимости, а в качестве эндогенных – темпы роста, показатели эффективности;
  • с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем алгебраических уравнений.

С помощью динамическихмоделей определяются траектории развитияэкономических систем, ее состояний взаданные моменты времени, проводитсяанализ системы на устойчивость и анализструктурных сдвигов.

Характернойособенностью динамических моделейявляется представление времени в видедискретного параметра. Обычно временныепериоды обозначаются и принимают значение 1,2,3,….

Обычнопредполагается, что длительностьпланового периода равна единице. Ночасто от этого правила отступают, идлительности планового периодаприписывают некоторую продолжительность,равную, например, числу рабочих дней вмесяце, недели.

Тогда продолжительностьпланового периода может быть разной.

Источник: https://studfile.net/preview/2798799/

Астронет > Динамические системы

Динамические системы и модели
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии.

Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства x0 определить его будущее в любой момент времени t >t0.

В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.

Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина [1].

Динамическая система и ее математическая модель

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени.

Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции.

Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами.

Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [2].

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.

Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении.

В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.

В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора:

      (1)

Как известно, функция аналитическая, и ее разложение в ряд Тейлора выглядит так:

    (2)

При малых . С увеличением x требуется учет второго, третьего и т.д. членов ряда, чтобы с заданной точностью аппроксимировать . Поэтому в случае мы получаем самую простую модель математического маятника:

    (3)

Следующим приближением будет модель нелинейного маятника:

    (4)

и т.д. Для каждого конкретного значения n будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника.

Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике.

В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин x1, x2, …, xN в некоторый момент времени t = t0.

Величины xi могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин xi и отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2]

    (5)

Если рассматривать величины x1, x2, …

, xN как координаты точки x в N-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют изображающей, а чаще фазовой точкой, а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы.

Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией. В фазовом пространстве системы уравнениями (5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке x выходящий из нее вектор скорости F(x), компоненты которого даются правыми частями уравнений (5):

    (6)

Динамическая система (5) может быть записана в векторной форме:

    (7)

где F(x) — вектор-функция размерности N.

Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы.

Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей.

В связи с этим система с n степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (N = 2n).

Классификация динамических систем

Если динамическая система задана уравнением (7), то постулируется, что каждому x(t0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t), t >t0, куда за время t – t0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (7). В операторной форме (7) можно записать в виде [2]

x(t) = Tt x(t0),    (8)

где Tt — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t0), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени t >t0.

Так как x(t0) и x(t) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор Tt отображает фазовое пространство системы на себя.

В соответствии с этим можно называть оператор Tt оператором отображения или просто отображением.

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным.

Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.

Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем.

Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t >t0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.

Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.

Колебательные системы и их свойства

Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы.

Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы.

Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний.

Назад | Вперед

Версия для печати

АстрометрияАстрономические инструментыАстрономическое образованиеАстрофизикаИстория астрономииКосмонавтика, исследование космосаЛюбительская астрономияПланеты и Солнечная системаСолнце

Источник: http://www.astronet.ru/db/msg/1177411/text1.html

Моделирование динамических систем: введение

Динамические системы и модели

Трудно переоценить значение компьютерного моделирования в современном мире. Давным давно канули в Лету времена, когда траектории выведения спутников на околоземную орбиту вычислялись толпой девушек-расчетчиц с «Феликсами» наперевес (была такая вычислительная машина).

Сегодня скромных размеров ящик около вашего рабочего стола решает все мыслимые и немыслимые задачи. Но есть одно «но». Состояние инженерного образования, не знаю, как там в столицах, а здесь, на периферии, выглядит в контексте данного вопроса удручающе.

Винить тут стоит подход к преподаванию в вузах таких дисциплин как «Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ», «Математическое моделирование в %нужное впишите сами%» и прочих. Эта беда инженерного образования вытекает из того факта, что в курсах, подобным перечисленным, порой напрочь отрублены междисциплинарные связи.

У обучаемого не складывается в голове цепочка: фундаментальная теория -> практическое применение -> инструмент решения задачи. У меня давно зрела мысль написать цикл, в котором будет разобрано по полочкам всё то, что мы называем современным математическим моделированием.

Но сделать это просто и доступно для тех, кто только начинает познавать эту необъятную дисциплину современной науки. Что из этого выйдет, неизвестно, но тех кому стало интересно я приглашаю под кат.

1. Математические начала натуральной философии

Да, начнем мы с механики. Наука доньютоновской эпохи, в современном смысле, была неполноценна. В ней отсутствовал четкая, универсальная методика научного исследования. Но это не значит, что науки не существовало. Был накоплен огромный пласт экспериментальных данных из разных сфер человеческой деятельности.

Ученые решали сложнейшие задачи, зачастую применяя методы, гениальность которых поражает до сих пор. Но гениальные открытия носили эпизодический характер. Пока не появился человек, написавший труд, давший в руки ученым четкий математический аппарат, ставший на столетия вперед основным инструментом научного познания.

Именно “Начала…

” Ньютона, заложившие основы дифференциального исчисления с практическим выходом в сторону механики сделали последнюю первой в истории настоящей научной теорией. Законами механики, где-то успешно, где-то не очень, стали пытаться объяснять все явления, происходящие в природе, от оптики до электричества, от термодинамики до строения вещества.

Время расставила точки над «i», на смену механистическим принципам пришли другие теории, да и сама механика изрядно эволюционировала. Но вместе с тем, механика, как никакая другая дисциплина наглядно и подробно иллюстрирует всё то, о чём мы будем говорить ниже.

Большинство примеров данного цикла будет так или иначе связано с моделированием механических систем, по крайней мере в первых его статьях.

Прежде чем мы начнем, должен дать несколько поясняющих замечаний:

  1. Читатель таки должен быть знаком с основным содержанием курса математики, понимать что такое векторные величины. Без этого ну никак. Буду стараться снабжать текст ссылками для подробного изучения узких мест, но в подробности вдаваться не буду
  2. В качестве инструмента для выполнения численных расчетов будем опираться на пакет GNU Octave. Почему — две причины. Он бесплатен, является аналогом Matlab и содержит всё необходимое для наших целей. Вторая причина — я сам хочу с ним познакомится, так что пусть это будет моей прихотью )
  3. Автор ждет замечаний к материалу, излагаемых в любой форме, будь то комментарии, письма, прочее. Это поможет сделать материал лучше.

2. Количественные параметры, описывающие движение

Механика — это наука, изучающая движение материальных тел. Под механическим движением понимают перемещение тела в пространстве с течением времени.

Это определение должно навести вас на следующие вопросы:

  1. Что понимают под телом?
  2. Как определяют его положение в пространстве?

Под телом, в научно-философском смысле принято понимать любой материальный объект, но этого расплывчатого определения явно недостаточно.

Поэтому механика оперируют следующими абстрактными понятиями:

  1. Материальная точка (или просто «точка»)
  2. Абсолютно твердое тело (или просто «твердое тело»)

Под точкой принято понимать тело, размерами которого пренебрегают в конкретных условиях движения.

Чтобы было понятно, посмотрим с позиции этого определения на нашу планету, движущуюся вокруг Солнца Земля имеет диаметр порядка 13000 километров. Солнце — почти полтора миллиона километров. Ничего себе точки! Но вот расстояние между ними 150 млн. километров, а путь проходимый Землей за год по орбите около миллиарда километров.

Как видим, в таких масштабах пространства Землю и Солнце можно действительно считать точками.

А если мы хотим изучать вращение Земли вокруг своей оси? Тогда каждая точка Земли движется по своей собственной траектории относительно оси вращения и пренебрегать её размерами никак нельзя! Здесь Землю стоит рассматривать уже как совокупность связанных точек или твердое тело.

Таким образом, механика предоставляет в наше распоряжение не само тело, а две его простые модели, используя которые можно решить большинство практических задач с нужной на практике степенью точности. Нет смысла говорить о твердом теле, не разобравшись с тем, как описывается движение точки. Очевидно, для того чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо выбрать начало отсчета, например другую точку. Определившись с началом отсчета нужно выбрать те параметры, количественное значение которых даст возможность оценить положение в пространстве интересующей нас движущейся точки. В зависимости от того, какие параметры выбраны, различаю три способа задания движения точки

2.1. Векторный способ задания движения

Все очень просто — из начала координат O к точке M проводят вектор. Длина и направление этого вектора позволяют нам судить о том, где расположена точка.

Точка будет двигаться в пространстве, вектор будет менять свою длину и направление, а его конец чертить в пространстве воображаемую кривую, которая называется траекторией точки. Сам вектор называют радиус-вектором точки.

Если мы знаем математический закон, формулу, по которой можем вычислить этот вектор для любого момента времени, то мы знаем закон движения точки Эта запись говорит нам о том, что радиус-вектор является функцией времени.

2.2. Координатный способ задания движения точки

Мы может провести из начала отсчета три взаимно перпендикулярных оси x, y, и z. Тогда положение точки будет определятся тройкой чисел — координатами в декартовой системе. В этом случае закон движения точки это три функции времени и теперь уже они являются законом движения.

2.3. Естественный (траекторный) способ задания движения точки

Мы можем вообще не использовать векторов и осей.

Начало отчета выберем на траектории точки, и положение точки оценивать по длине дуги, которую она прошла по траектории В этом случае нам придется определится с тем, в каком направлении вдоль кривой координата s отсчитывается в положительном направлении и тогда функция так же является законом движения. Этот способ удобен тогда, когда мы точно знаем форму траектории точки.

3. Скорость и ускорение

Скорость точки — это первая производная радиус вектора точки по времени Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки. Что, со многих точек зрения, является самым правильным и полным определением.

Если движение точки задается координатным способом, то вектор скорости определяется своими проекциями на оси координат, вычисляемые как производные от соответствующих координат Последнее обозначение производной — точкой над функцией, такое древнее как и сами «Начала…» и восходит к Ньютону. Именно он предложил это обозначение.

Потом укоренился привычный школьникам и студентам штрих, как обозначение производной по произвольному параметру, а точка осталась как обозначение производной взятой именно по времени.

Ускорение точки — это первая производная от вектора скорости точки, или вторая производная от радиус-вектора точки
В декартовых координатах это выглядит так
Тут двумя точками над функциями обозначена вторая производная по времени. Таким образом, зная закон движения точки мы с легкостью можем определить её скорость и ускорение простым вычислением производной.

4. Аксиомы динамики

В школе рассказывают о законах Ньютона. При этом часто допускают фундаментальную ошибку — забывают сказать, что эти законы сформулированы и справедливы исключительно для материальной точки. И совершенно не работают для твердого тела (тише, тише, не надо гневных возгласов, я всё объясню).

В такой научной дисциплине, как теоретическая механика, законы Ньютона принято называть аксиомами, и дополненные принципом независимости действия сил, они образуют систему аксиом динамики.Аксиома 1 (Первый закон Ньютона) Точка движется в пространстве равномерно и прямолинейно, если векторная сумма приложенных к ней сил равна нулю.

Как преподаватель механики с довольно неплохим стажем я предпочитаю именно эту формулировку принципа инерции классической механики чем путанную школьную «существуют такие системы отсчета, относительно которых бла-бла-бла…». Из этой формулировки сразу понятно: чтобы механическое движение происходило, совершенно необязательно действие силы.

Если сил нет, или их действие на точку скомпенсировано, то её движение будет происходить по инерции, по прямой с неизменной скоростью.

Чтобы направление и величина скорости изменилось, нужна причина, а именно
Аксиома 2 (Второй закон Ньютона) Вектор ускорения точки, умноженный на её массу равен действующей на точку силе
Если на точку действует отличная от нуля сила, то она порождает ускорение, направленное в ту же самую сторону.

А с появлением ускорения меняется и скорость точки, а значит и характер движения.

Аксиома 3 (Третий закон Ньютона) Две точки взаимодействуют с силами равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль одной прямой
Фундаментальность этого закона трудно переоценить, но глубокий его смысл понять можно на примерах о которых мы поговорим не сейчас.

Пока что предлагаю покопаться в памяти и перечитать школьный учебник.

Гораздо важнее для нас следующее
Аксиома 4 (Принцип независимости действия сил) Если на точку действует несколько сил, то ускорение, сообщаемое точки этими силами равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых точке каждой силой в отдельности Отсюда вытекает, что при действии на точку нескольких сил справедливо уравнение которое в механике называю гордым и страшным именем — дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Именно это уравнение служит отправной точкой для математического моделирования в механике. Решая именно это уравнение мы начнем осваивать основы математического моделирования как самостоятельной научной отрасли. Посмотрите на него внимательно, покопайтесь памяти, откройте учебники. Мы ещё не раз вспомним о нем.

Теперь объясню, что я имел в виду, говоря что законы Ньютона справедливы только для материальной точки. Это действительно так, представьте себе твердое тело, движущееся в пространстве. Черт возьми, выйдите на улицу, поднимите с земли палку побольше и швырните её подальше. Видите? Каждая точка палки движется по своей траектории. А значит у каждой точки палки своё собственное ускорение. К какой из этих точек применим второй закон Ньютона? Он применим к каждой точке палки, но не к палке в целом. Понятия «ускорение палки», «траектория палки» бессмысленны. Имеют смысл ускорение и траектория конкретной точки палки, например её центра масс.

Именно поэтому, когда описывают движение твердого тела, то используют теоремы динамики для твердого тела: теорему о движении центра масс, теорему об изменении момента количества движения и теорему об изменении кинетической энергии. Да, эти теоремы выведены опираясь на вышеперечисленные аксиомы (законы Ньютона). Но непосредственно эти законы не применимы к описанию движения твердого тела. Только для точки.

5. Дифференциальные уравнения движения точки

Итак, второй закон Ньютона и принцип независимости действия сил дают нам в руки серьезный математический аппарат в виде уравнения, связывающего между собой ускорение точки и действующие на эту точку силы.

Если мы заменим ускорение, по определению данному выше, второй производной по времени от радиус-вектора точки, то увидим такое выражение Вроде бы просто, но на самом деле это чрезвычайно круто и важно. Посмотрите — слева у нас, стоит закон движения (да, продифференцированный дважды).

А справа — сумма сил. Таким образом, это уравнение связывает между собой силы приложенные к точке и закон движения. А значит зная закон движения, можно вычислить силу, его вызывающую. Или наоборот, зная силы, приложенные к точке, найти закон движения.

В подавляющем большинстве случаев это уравнение не используют непосредственно, а раскладывают его на три уравнения в проекциях на оси координат

6. Задачи динамики точки

С помощью дифференциальных уравнений движения точки решают две фундаментальные задачиПервая (обратная) задача динамики По известному закону движения точки определить действующую на точку силу Пусть мы знаем закон движения точки, заданный в виде зависимости радиус-вектора от времени Тогда, достаточно два раза взять производную по времени от этой функции, умножить результат на массу, и мы получим ту силу, которая вызывает движение точки по данному закону Отмечу, что полученная сила по факту есть равнодействующая всех сил, приложенных к точке, то есть информация о силовых факторах определяющих движение является неполной. Но, однако этот принцип позволил Ньютону открыть закон всемирного тяготения. В наши дни эта задача получила обобщение на произвольные динамические системы, совершенно не связанные с механикой и известна в теории управления как метод обратных задач динамики.Вторая (прямая) задача динамики По известным силам, приложенным к точке, определить закон её движения Силы, приложенные к точке можно сложить, получив вектор равнодействующей. Причем эта равнодействующая в общем случае будет зависеть от времени, положения точки в пространстве и её скорости

Мы получили уравнение, содержащее неизвестную функцию а так же две её производные. Такое уравнение в математике называют дифференциальным. Его решение в конечном счете сводится к интегрированию — операции обратной нахождению производной. Поскольку уравнение содержит вторую производную неизвестной функции, оно является уравнением второго порядка, а значит брать интеграл придется дважды.

Операция поиска интеграла в порядки сложнее операции поиска производной. И в подавляющем большинстве случаев результат нельзя выразить через элементарные математические функции. Как говорил наш преподаватель математики в университете: «Если вы видите быка, то можете представить себе какие котлеты из него получаться. Но видя котлеты, вам никогда не удастся реконструировать по ним быка…». По моему эта байка как нельзя лучше отражает смысл и сложность обратных операций. Невозможность получения аналитического решения многих задач привела к появлению численных методов, бурный рост которых произошел в компьютерную эпоху. В тот день когда дифференциальное уравнение движения было впервые решено на ЭВМ, стал днём рождения новой отрасли знаний — математического моделирования.

Заключение

Не нужно упрекать меня за перепечатку учебника по механике. Данный текст является авторским и преследует целью обзор теоретических основ, без которых говорить о моделировании как практической области нет ни малейшего смысла. В следующий раз мы будет заниматься практикой, но начнем как это положено с азов.

Благодарю за внимание и до новых встреч!

  • моделирование
  • динамика
  • механика
  • octave

Источник: https://habr.com/post/349072/

Тема 3.5 динамические модели систем

Динамические системы и модели

До сих пор основноевнимание было уделено понятию системы,ее составу и устройству. Были построенымодели, которые являются как бы”фотографиями” системы, отображаютее в некоторый момент времени.

В этомсмысле рассмотренные варианты моделей”черного ящика”, состава, структурыи структурной схемы системы могут бытьназваны статическимимоделями, чтоподчеркивает их неподвижный, как бызастывший характер.

Следующий шаг висследовании систем состоит в том, чтобыпонять и описать, как система “работает”,что происходит с ней самой и с окружающейсредой в ходе реализации поставленнойцели.

Очевидно, и подход к описанию, истепень подробности описания происходящихпроцессов могут быть различными.

Однакообщим при этом является то, чторазрабатываемые модели должны отражатьповедение систем, описывать происходящиес течением времени изменения,последовательность каких-то этапов,операций, действий, причинно-следственныесвязи.

Системы, в которыхпроисходят какие бы то ни было изменениясо временем, будем называть динамическими,а модели, отображающих эти изменения,— динамическимимоделямисистем.

Для разных объектови систем разработано большое количестводинамических моделей, описывающихпроцессы с различной степенью детальности:от самого общего понятия динамики,движения вообще, формальных математическихмоделей конкретных процессовтипа уравненийдвижения в механике или волновыхуравнений в теории поля Развитие моделейпроисходит примерно в той последовательности,как это было изложено: от “черногоящика” к “белому”. Однако этотпуть конкретизации моделей непрост инелегок и для многих систем еще незакончен из-за недостаточности имеющихсязнаний.

Уже на этапе”черного ящика” различают два типадинамики системы: ее функционированиеи развитие.

Подфункционированиемподразумевают процессы, которыепроисходят в системе (и окружающей еёсреде), стабильно реализующей фиксированнуюцель (функционируют, например, часы,городской транспорт, кинотеатр,канцелярия, радиоприемник, станок,школа, и т.д.).Развитиемназывают то, что происходит с системойпри изменении ее целей.

Характернойчертой развития является тот факт, чтосуществующая структура перестаетсоответствовать новой цели, и дляобеспечения новой функции приходитсяизменять структуру, а иногда и составсистемы, перестраивать всю систему.

Не следует считать,что система всегда находится либо вфазе развития, либо в состояниифункционирования. При реконструкцииодного цеха остальные функционируют,завод в целом развивается.

Даже прикоренной перестройке системы какие-тоэлементы и даже подсистемы старойструктуры могут продолжать функционироватьв новой по-прежнему.

Возможны и такиесистемы, для функционирования которыхкакие-то ее подсистемы должны бытьпостоянно в развитии.

Следующий шаг впостроении динамических моделей состоитв том, чтобы конкретнее отобразитьпроисходящие изменения. Это означает,что следует различать части, этапыпроисходящего процесса, рассматриватьих взаимосвязи.Иными словами, типы динамических моделейтакие же,как и статических, только элементы этихмоделей имеют временной характер.

Например, динамический вариант “черногоящика” — указание начального (“вход”)и конечного (“выход”) состоянийсистемы. Модели состава соответствуетперечень этапов в некоторой упорядоченнойпоследовательности действий. Например,доказано, что любой алгоритм можнопостроить, используя всего три оператора:”выполнять последовательно”, “если… то …

” и “выполнять, пока неудовлетворится условие”. Эти операторыможно рассматривать как модельминимального состава алгоритма, хотяне обязательно составлять алгоритмтолько изэтих операторов. Динамический вариант”белого ящика” – это подробноеописание происходящего или планируемогопроцесса.

Например, на производствешироко используют так называемые сетевыеграфики — графы, имеющие сетевуюструктуру; их вершинами служат выполняемыепроизводственные операции, а ребрауказывают, какие операции не могутначаться, пока не окончатся предыдущие.

Здесь же некоторым образом (например,с помощью задания длин или весов ребер)изображается длительность выполненияопераций, что и позволяет находить награфе “критические” пути, т.е.последовательности операций, от которыхглавным образом зависит ритмичностьвсей работы.

Те же типы моделейпрослеживаются и при более глубокойформализации динамических моделей.

Приматематическом моделировании некоторогопроцесса его конкретная реализацияописывается в виде соответствия междуэлементами множества Хвозможных “значений хи элементов упорядоченного множестваТ”моментов времени” t, т.е. в видеотображения Т-> Х: x (t) ХT,t  T. С помощью этих понятий можно строитьматематические модели систем.

Рисунок 3.7.Динамическая модель “черного ящика”:задание процессов на входах и выходахсистемы.

Рассматриваявыход y(t)системы (это может быть вектор) как еёреакцию на управляемые u(t)и неуправляемые v(t)входы x(t)= { u(t), v(t)}(рис. 3.7), можно модель “черного ящика”выразить как совокупность двух процессов:XT= {x(t)} и УT= {y(t)}, t Т.

Если дажесчитать y(t)результатом некоторого преобразованияФ процесса x(t),т.е. y(t) = Ф(х(t)),то модель “черного ящика” предполагает,что это преобразование неизвестно. Втом же случае, когда мы имеем дело с”белым ящиком”, соответствие междувходом и выходом можно описать тем илииным способом.

Какой именно способ —зависит от того, что нам известно, и вкакой форме можно использовать этизнания.

Например, иногдабывает известно, что система мгновеннопреобразует вход в выход, т.е. что y(t)является функцией только x(t)в тот же момент времени. Остается задатьили найти эту функцию.

На практике чащевсего известна лишь безынерционностьсистемы и требуется, наблюдая входы ивыходы, восстановить неизвестную функциюу = Ф(х).По существу, это задача о переходе отмодели “черного ящика” к модели”белого ящика” по наблюдениямвходов и выходов при наличии информациио безынерционности системы.

Даже в такойдостаточно простой постановке задачаимеет совсем не простые варианты, которыезависят от того, что известно о функцииФ (в параметризованном случае Ф принадлежитсемейству функций, известных с точностьюдо параметров; в не параметризованном— вид функции Ф неизвестен), и от наличияили отсутствия некоторых общих сведенийо ее свойствах (непрерывности, гладкости,монотонности, симметричности и т.п.).Дополнительные варианты (и дополнительныетрудности) возникают, если входы и выходынаблюдаются с помехами или искажениями.При этом разные предположения о природеэтих помех приводят к принципиальноотличающимся решениям задачи (например,в случае, когда распределены помехиизвестно точно, известно с точностьюдо числовых параметров или неизвестносовсем).

Однако класссистем, которые можно считатьбезынерционными, весьма узок.

Необходимостроить математические модели систем,выход которых определяется не толькозначением входа в данный момент времени,но и теми значениями, которые были навходе в предыдущие моменты.

Более того,в самой системе с течением времени какпод влиянием входных воздействий, таки независимо от них могут происходитьизменения, что также следует отразитьв модели.

В наиболее общеймодели это достигается введением понятиясостояниясистемы как некоторой (внутренней)характеристики системы, значение которойв настоящий момент времени определяеттекущее значение выходной величины.

Состояние можно рассматривать каксвоего рода хранилище информации,необходимой для предсказания влияниянастоящего на будущее Обозначим этосостояние через z(t).

Все сказанное выше означает существованиетакого отображения : Z* T->Y, что

Явная зависимость от tвведена для учета возможности изменениязависимости выхода от состояния стечением времени. Это отображениеназываетсяотображениемвыхода.

Для завершенияпостроения модели нужно описать связьмежду входом и состоянием, т.е. ввестипараметрическое семейство отображенийt:Z*X(.)->Z,заданных для всех значений параметровt Т,   T и   t.Это означает принятие аксиомы о том,что состояние в любой момент t>  однозначноопределяется состоянием zв момент  и отрезком реализации входах(.) от  до t:

Такое отображениеназываютпереходным отображением.

Итак, математическаямодель системы, соответствующая уровню”белого ящика”, — это заданиемножеств входов, состояний и выходов,и связей между ними:

Конкретизируямножества X, Zи У и отображения  и , можно перейтик моделям различных систем. Так, говорято дискретныхи непрерывныхпо временисистемах в зависимости от того, дискретноили непрерывно множество Т.Далее, если множества X,Z и Yдискретной по времени системы имеютконечное число элементов, то такуюсистему называют конечнымавтоматом.

Этодовольно просто класс систем в томсмысле, что для исследования конечныхавтоматов необходимы лишь методы логикии алгебры; в то же времяэтоширокий ипрактически важный класс, так как в неговходят все дискретные (цифровые)измерительные, управляющие и вычислительныеустройства, в том числе и ЭВМ.

Если X,Z и У — линейныепространства, а  и , – линейныеоператоры, то и система называетсялинейной.Если к линейной системе дополнительнопредъявить требования, состоящие в том,чтобы пространства имели топологическуюструктуру, а  и  были бы непрерывныв этой топологи, то мы приходим к гладкимсистемам.

Этокласс систем имеет большое значение,так как оказалось, что для гладких системпереходное отображение  являетсяобщим решением дифференциальногоуравнения

(dz/dt)=f(t,z,x),

а для дискретныхсистем – общим решением уравнения

z(tk+1)=f (tk,z,х) = (tk+1,;tk,z, х(.)),

где х(.) — траектория для моментов времени

t

Источник: https://studfile.net/preview/1424099/page:7/

Book for ucheba
Добавить комментарий