Достаточные условия

Понятие экстремума функции

Достаточные условия
Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума –локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногомаксимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливострогое неравенство $f(x)< f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногоминимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будетсправедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f{\prime}(x)=0$,называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называютсякритическими точками этой функции. То есть критические точки – это либо стационарные точки (решенияуравнения $f{\prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f{\prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. $f{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует;
  3. производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$на экстремум, необходимо:

  1. найти производную $f{\prime}(x)$;
  2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f{\prime}(x)=0$ или $f{\prime}(x)$ не существует;
  3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
  4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y{\prime}=\left(x{4}-1\right){\prime}=4 x{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y{\prime}(x)=0$:

$y{\prime}=4 x{3}=0 \Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с “-” на “+”, то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y{\prime}(x)0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. первая производная $f{\prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
  3. $f{\prime \prime}(x) eq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум, причем, если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x{2}-1}{x{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y{\prime}(x)=\left(\frac{x{2}-1}{x{2}+1}\right){\prime}=\frac{2 x\left(x{2}+1\right)-\left(x{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y{\prime}(x)=0 \Rightarrow \frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=0 \Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y{\prime \prime}(x)=\left(\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}\right){\prime}=\frac{4\left(x{2}+1\right){2}-4 x \cdot 2\left(x{2}+1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){4}}=$

$=-\frac{4\left(3 x{2}-1\right)}{\left(x{2}+1\right){3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0{2}-1}{0{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Вы поняли, как решать? Нет?

$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестно”,”word_count”:639,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_22.php

Математика, которая мне нравится

Достаточные условия

Рассмотрим теорему

Предикат является истинным для всех тогда и только тогда, когда множество истинности предиката содержится в множестве истинности предиката , т.е. предикат является следствием предиката . При этом предикат называют необходимым условием для предиката , а предикат — достаточным условием для .

Пример.

Рассмотрим утверждение: “Если число делится на 6, то число делится на 3”. Здесь предикат : “Число делится на 6”, а предикат : “Число делится на 3”.

Предикат логически следует из предиката . Предикат (делимость числа на 6) является достаточным условием для предиката (делимость числа на 3).

Предикат (делимость числа на 3) является необходимым условием для предиката (делимость числа на 6).

Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы

Это возможно при условии, что предикаты и равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие является достаточным для , а из второй теоремы следует, что условие является необходимым для . Таким образом, в этом случае условие является и необходимым, и достаточным условием для . Аналогично, условие является необходимым и достаточным для .

Пример.

Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.

Триггер

Задача. В электронной схеме на вход подаются значения 0 и 0. Что будет на выходе?

Значения на выходе не зависят от входных значений , они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение , то оно и останется, а если , то и будет . Если же на левый вход подадим , то на выходе получим независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход , то на выходе будет .

Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход . хранится в памяти — на обоих входах — . Очистка памяти — подача на левый вход.

Задачи.

1. Запишите на языке предикатов определения:

1) ограниченной функции (функция называется ограниченной на множестве , если существует такое неотрицательное число , что для всех справедливо неравенство );

2) четной функции (функция называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого из области определения справедливо равенство ;

3) периодической функции (функция называется периодической, если существует такое число , что при любом из области определения элементы и также принадлежат этой области, и при этом выполнено равенство ;

4) возрастающей функции на множестве (функция называется возрастающей на множестве , если для любых чисел и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство ).

2. Пользуясь полученными в задаче 1 формулами ответьте на вопросы. Что значит:

1) Функция не является ограниченной?

2) Функция не является четной?

3) Функция не является периодической?

4) Функция не является возрастающей на множестве ?

3. Докажите несправедливость утверждений:

1) Если функция непрерывна в точке , то она и дифференцируема в этой точке.

2) Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.

3) Если числовая последовательность имеет предел, то она монотонна.

4. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство

1) ;

2) ;

3) ;

4) и ;

5) и ;

6) .

5. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова “необходимо, но недостаточно” или “достаточно, но не необходимо” или же “не необходимо и недостаточно”, а где возможно “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное утверждение:

1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным , чтобы длины его диагоналей были равны.

2) Для того, чтобы , чтобы .

3) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным числом, \ldots, чтобы каждое слагаемое было четным.

4) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, , чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

5) Для того, чтобы множество было счетным, , чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности.

6) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была ограниченной.

7) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, , чтобы она была монотонна и ограниченна.

6. Сформулируйте:

1) Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

2) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

3) Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

4) Необходимое, но недостаточное условие того, чтобы уравнение имело решение.

5) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело решения.

6) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение имело вещественные корни.

7. Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом.

Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в
лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля.

— Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.”

Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?

Источник: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/14-neobxodimye-i-dostatochnye-usloviya/

Достаточные условия экстремума

Достаточные условия

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. .

Тогда если второй дифференциал является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных , то функция имеет в точке локальный минимум (максимум).

Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точке функция не имеет локального экстремума.

Рассмотрим случай двух переменных. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. . Введем обозначения:

.

Тогда на основе вышесказанного и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, известного из курса линейной алгебры, следуют такие выводы:

1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем максимум, если и минимум, если ;

2) если , то в точке функция не имеет локального экстремума;

3) если , то в точке функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его.

Обратимся к определению условного экстремума. Рассмотрим функцию при условии, что ее аргументы связаны между собой соотношениями . Последние называют условиями связи. Пусть координаты точки удовлетворяют условиям связи.

Определение 10.3. Функция имеет в точке условный минимум (максимум) при условии связи , если найдется такая -окрестность точки , в пределах которой значение является наименьшим (наибольшим) из всех значений этой функции, т. е. выполняется неравенство

.

Другими словами, условный минимум (максимум) – это наименьшее (наибольшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Рассмотрим два метода нахождения точек условного экстремума.

1. Метод исключения. Если уравнения связи

удается разрешить относительно каких-то переменных, например относительно переменных , т. е.

то исследование функции на условный экстремум при ограничениях сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции переменных :

.

2. Метод Лагранжа. Пусть функции

,

непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и ранг матрицы Якоби

в этой точке равен . Функцию

называют функцией Лагранжа, параметры называют множителями Лагранжа. Сформулируем необходимые и достаточные условия существования условного экстремума.

Необходимые условия. Для того чтобы точка являлась точкой условного экстремума функции при уравнениях связи , необходимо, чтобы ее координаты при некоторых значениях удовлетворяли системе уравнений

Достаточные условия. Пусть функции

,

дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , а также пусть в этой точке выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции при

.

Тогда если при выполнении условий

второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет условный строгий минимум (максимум). Если второй дифференциал является неопределенной квадратичной формой, то в точке условного экстремума нет.

Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Эти значения она может принимать как во внутренних точках множества (точки экстремума), так и на его границе. Следовательно, необходимо специальное исследование граничных точек множества.

Пример 10.1. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Найдём стационарные точки из системы уравнений:

.

Имеется одна стационарная точка . Выясним, является ли эта точка точкой экстремума. Найдём вторые производные:

; ; ; .

Так как , то в точке есть экстремум. Поскольку , то в точке функция имеет локальный минимум, равный .

Пример 10.2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных

.

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

.

Решив систему

найдем стационарные точки и .

Вычислим частные производные второго порядка:

Составим матрицу второго дифференциала функции:

.

В точке ее главные миноры

положительны. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум . Для исследования функции в точке нельзя использовать критерий Сильвестра, т. к. . В этой точке экстремума нет. Действительно, , а в сколь угодно малой окрестности точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, если , и если .

Пример 10.3. Найти экстремум функции при условии методом множителей Лагранжа.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

,

где λ – множители Лагранжа.

Исследуем функцию на экстремум. Определим стационарные точки, используя необходимые условия существования экстремума. Найдем частные производные функции и приравняем их к нулю:

Следовательно, имеется одна стационарная точка . Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Вычислим второй дифференциал функции . Для этого необходимо найти частные производные второго порядка в точке :

.

Тогда дифференциал второго порядка можно записать следующим образом:

.

Так как , то в точке функция имеет условный ми-

нимум:

.

Пример 10.4. Найти условные экстремумы функции

относительно уравнения связи

.

Решение. Функции и непрерывно дважды дифференцируемы. Матрица Якоби в данном случае имеет вид , и ее ранг равен единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:

.

Согласно необходимым условиям получаем систему

из которой находим, что при и

при . Таким образом, функция может иметь условный экстремум только в двух точках: и .

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Так как

, то .

Найдем первый дифференциал функции : .

В точках и дифференциалы и связаны равенством . Откуда . Следовательно, . Тогда второй дифференциал функции Лагранжа в точке является положительно определенной квадратичной формой

,

а в точке – отрицательно определенной квадратичной формой

.

Следовательно, функция в точке имеет условный минимум , а в точке – условный максимум .

Пример 10.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств .

Решение. Определим стационарные точки заданной функции в данной области и изучим поведение функции на границе области. Найдем частные производные первого и второго порядка функции :

;

.

Из системы уравнений (необходимое условие существования экстремума) определим стационарную точку:

Стационарная точка принадлежит области и является точкой экстремума (достаточное условие), т. к.

.

Рис. 12 Точка является точкой минимума, поскольку и . Исследуем поведение функции на границе области. На оси Ox и наибольшие значения функция принимает в наиболее удалённых от нуля точках, т. е. при . Это точки и (рис. 19).

На прямой

.

Точка – точка минимума . Для всех функция возрастает, поэтому в пределах области наибольшее значение она принимает в точке .

На прямой

; .

Точка – точка минимума, В пределах области наибольшего значения функция достигает в точке или в точке .

На прямой

.

Точка – точка минимума. В пределах области наибольшее значение функция принимает в точке .

Осталось вычислить значения функции в точках , , , ; значение в точке вычислено выше :

.

Таким образом, сравнивая все полученные значения функции, выбираем из них наибольшее (в точке ) и наименьшее (в точке ) значения:

Пример 10.6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств

, .

Решение. Область ограничена прямой и параболой . Вначале исследуем функцию на экстремум: найдем частные производные и приравняем их к нулю. Определим стационарные точки:

.

Стационарная точка: . Используем достаточные условия экстремума:

.

Так как , функция экстремума не имеет. Поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения на границах заданной области.

Исследуем поведение функции на границах области.

1. Если , , , – точка минимума, т. к. .

2. Если , то

; .

Имеем две критические точки:

и ; , ; , .

По второму достаточному условию , значит, M1 – точка минимума. Поскольку , то M2 – точка максимума. Вычисляем значения функций в этих точках:

; .

3. Вычисляем значения функции в граничных точках и

.

Выберем наибольшее и наименьшее значение из найденных значений:

; ; ;

; .

Таким образом, наибольшее значение и наименьшее значение функции в заданной области составляют

; .

Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:

10.1. . 10.2. .

10.3. .

10.4. . 10.5. .

10.6. .

10.7. .

10.8. .

10.9. .

10.10. Доказать, что функция :

1) вдоль каждой прямой, проходящей через точку , имеет в этой точке минимум;

2) не имеет минимума в точке .

Найти экстремальные значения заданной неявно функции:

10.11. .
10.12. .
10.13. .

Найти точки условного экстремума следующих функций:

10.14. . 10.15. .
10.16. .
10.17. . 10.18. .
10.19. .
10.20. .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве:

10.21. , если .
10.22. , если .
10.23. , если .

10.24. Показать, что функция имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.

10.25. Найти расстояние между поверхностями

.

Ответы: 10.1. . 10.2. , нестрогий минимум при , нестрогий максимум при , , .10.3. , .

10.4. , седло .

10.5. , .

10.6.Седло .10.7. .

10.8. .

10.9. при .

10.11. .

10.12. ; .

10.13.Нестрогий минимум в точках окружности, .

10.14. .

10.15. , . 10.16. .

10.17. .10.18. , .

10.19. , .

10.20. , где .10.21. .

10.22. .

10.23. . 10.25. .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/6_144084_ekstremum-funktsii-neskolkih-peremennih.html

В помощь раздолбаю

Достаточные условия

Достаточные условия монотонности, достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.

Достаточное условие монотонности функции.

Теорема 2. Если для всех выполняется условие

,

то функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b), а если для всех справедливо неравенство

,

то функция f(x) строго убывает на интервале (a,b).

Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется первое условие. Пусть ипроизвольные точки интервала (a,b) такие, что По теореме Лагранжа

, где .

Отсюда и из первого условия Теоремы 2 следует, что . Это означает, что функция f(x) строго возрастает на интервале (a,b).

Замечание 1. Условие не является необходимым для строгого возрастания функции. Пример .

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a,b) и удовлетворяет условию , то эта функция строго убывает на отрезке .

Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа.

Теорема 4. Если , то функция f(x) строго возрастает в точке , а если , то функция f(x) строго убывает в точке .

Пусть, например, . Из определения производной следует, что по заданному числу можно найти такое, что для всех выполняется неравенство , откуда следует утверждение , .

Аналогично доказывается случай .

Достаточные условия локального экстремума в терминах первой и второй производной.

Теорема 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки , и непрерывна в точке .

Тогда:

  1. если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. существует такое, что

,

,

то – точка строгого минимума функции f.

  1. если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого максимума функции f.

Пусть функция меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , тогда выполняется условие а) Теоремы 5.

Если xпроизвольная точка интервала , то функция f дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке . По теореме Лагранжа

,

где , так как и . Отсюда следует, что

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезке , где , получаем, что

Из двух последних условий следует утверждение:

Это означает, что – точка строгого минимума функции f(x).

Аналогично рассматривается случай строгого максимума.

Замечание 3. Если – точка строгого экстремума функции f(x), то из этого не следует, что функция меняет знак при переходе через .

Теорема 6 (второе достаточное условие строгого экстремума)

Пусть – стационарная точка функции f(x), т.е.

,

И пусть существует .

Тогда:

а) если , то – точка строгого минимума функции f(x);

б) если , то – точка строгого максимума функции f(x).

Если , то по теореме о монотонности функции, функция является возрастающей в точке , т.е. существует такое, что

,

,

откуда следует, что меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку . Согласно Теореме 5 точка – точка строгого минимума функции f(x). Аналогично рассматривается случай .

Замечание 4. Если и , то в точке функция f может иметь экстремум , а может и не иметь . Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая .

Теорема 7(третье достаточное условие строгого экстремума).

Пусть существует , где n>2 и выполняются условия

Тогда:

а) если n – четное число, то – точка экстремума функции f(x), а именно точка строгого максимума в случае и точка строгого минимума в случае

б) если n – нечетное число, то не является точкой экстремума функции f(x).

Используя локальную формулу Тейлора для функции f(x) в окрестности точки и условия получаем

Из условия следует, что предыдущее неравенство можно записать в виде

(20)

Где при так как при Поэтому откуда следует, что

для (21)

Из равенства (20) в силу условия (21) получаем

(22)

а) Пусть n – четное число (n=2k), тогда

и из равенства (22) получаем

Если то для выполняется неравенство

Это означает, что – точка строгого минимума функции f(x).

Аналогично, если то

т.е. – точка строгого максимума функции f(x).

б) Пусть n=2k+1, тогда из формулы (22) следует, что разность меняет знак при переходе через точку , так как функция меняет знак при переходе через точку . Это означает, что не является точкой экстремума функции f(x).

Источник: https://mipt1.ru/1_matan/12/1/

Book for ucheba
Добавить комментарий