Глава 2 Возрождение математики в Западной Европе

История математики / Глава V. Западная Европа. – Начало — Решебник.Ру

Глава 2 Возрождение математики в Западной Европе

1. Наиболее развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. Земледелие Запада было экстенсивным, никогда не имело в своей основе орошения, и это не содействовало астрономическим исследованиям.

Действительно, Запад очень хорошо обходился минимумом астрономии, известным объемом практической арифметики и некоторыми приемами измерения для целей торговли и землемерия, стимулы же для развития этих наук шли с Востока. Когда Восток и Запад оказались политически разобщенными, такие стимулы почти полностью исчезли.

Малоподвижная цивилизация Западной Римской империи сохранялась в течение ряда столетий лишь с незначительными изменениями или разрывами. Средиземноморское единство античной цивилизации тоже оставалось нетронутым, даже варварские вторжения не очень сказались на нем.

Во всех германских королевствах, за исключением, пожалуй, британского, экономические условия, общественные установления и интеллектуальная жизнь в основном сохранялись такими, какими они были во время упадка Римской империи.

Основой хозяйственной жизни было земледелие, причем рабы постепенно, заменялись свободными земледельцами и арендаторами, но, кроме того, существовали процветавшие города и широко развитая торговля на основе денежного обращения. Главным авторитетом в греко-римском мире после падения Западной империи в 476 г. были на равных правах константинопольские императоры и римские папы.

Католическая церковь Запада своими учреждениями и своим языком продолжала в меру своих возможностей культурные традиции Римской империи в германских государствах. Монастыри и образованные миряне в известной мере сберегали греко-римскую цивилизацию.

Один из таких мирян, дипломат и философ Аниций Манилий Северин Боэций (Boethius), был автором математических произведений, чей авторитет сохранялся в западном мире в течение более чем тысячи лет. На этих работах сказалось общее состояние культуры – они бедны содержанием, и то, что они сохранились, быть может, объясняется убеждением, что их автор в 524 г. погиб как мученик за католическую веру. Его «Основы арифметики» (Institutio arithmetica) – поверхностный перевод Никомаха, содержащий частично теорию чисел пифагорейцев, что вошло в средневековую науку как часть старинного тривиума и квадривиума: арифметика, геометрия, астрономия и музыка.

Трудно указать то время, когда на Западе экономика древней Римской империи исчезла и уступила место новому феодальному порядку. В какой-то мере этот вопрос разъясняется, если принять гипотезу Пиренна, а именно, что конец древнего западного мира наступил с экспансией ислама.

Арабы лишили Византийскую империю всех ее провинций на восточных и южных берегах Средиземного моря и превратили восточную часть Средиземного моря в закрытое мусульманское озеро. На несколько столетий они чрезвычайно затруднили торговые связи между Ближним Востоком и христианским Западом.

Пути интеллектуального общения между арабским миром и северными частями бывшей Римской империи в течение столетий были загромождены, хотя никогда не были перекрыты полностью.

В эту эпоху во франкской Галлии и в других бывших частях Римской империи хозяйственная деятельность широкого масштаба постепенно сворачивается, города приходят в упадок, доходы от налогов становятся незначительными. Денежное обращение вытесняется обменом, преобладает местная торговля.

Западная Европа приходит в полуварварское состояние. С упадком торговли возрастает значение земельной аристократии, и крупные северофранкские землевладельцы, возглавляемые Каролингами, становятся решающей силой в стране франков.

Экономические и культурные центры перемещаются к северу, в северную Францию и в Британию. Отделение Запада от Востока настолько ограничивает реальную власть пап, что папство объединяется с Каролингами, символом чего было коронование Карла Великого в 800 г. как императора Священной Римской империи.

Западное общество стало феодальным и церковным, его ориентация была северной и германской.

2. В течение первых столетий западного феодализма даже в монастырях не очень высоко ставят математику.

В земледельческом обществе этого периода, вновь ставшем примитивным, почти что отсутствовали факторы, которые содействовали бы развитию математики даже непосредственно практического характера.

Математика в монастырях сводилась всего лишь к скромной арифметике церковного назначения, которой пользовались главным образом для вычисления пасхалий (так называемый «компутус». Боэций был высшим авторитетом.

Известное значение среди этих математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума юношей» содержат подборку задач, имевшую влияние на составителей учебников в течение ряда столетий. Многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например:

«Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика?»

«Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?»

Другим математиком-церковником был Герберт, французский монах, который в 999 г. стал папой, приняв имя Сильвестра II. Под влиянием Боэция он написал несколько трактатов, но его значение как математика обусловлено в основном тем, что он был одним из первых западных ученых, ездивших в Испанию и изучавших математику арабского мира.

3. В развитии западного, восточного и раннего греческого феодализма имеются существенные различия. Экстенсивный характер западного земледелия делал излишней обширную систему бюрократической администрации, так что это не могло послужить основой для деспотизма восточного типа.

На Западе не было возможности в широкой мере обеспечить пополнение рабов. Когда села Западной Европы вырастали в города, эти города превращались в самоуправляющиеся единицы и горожане не могли вести праздную жизнь, используя труд рабов.

Это одна из основных причин, в силу которых греческие полисы и западные города, на начальных стадиях имеющие много общего, в дальнейшем становятся резко отличными друг от друга. Население средневековых городов должно было полагаться на свою собственную изобретательность в деле улучшения условий своей жизни.

В двенадцатом, тринадцатом и четырнадцатом столетиях города выходят победителями в ожесточенной борьбе против феодалов-землевладельцев, сочетавшейся с гражданскими войнами. Основа их успехов – не только быстрое развитие торговли и денежного хозяйства, но и постепенное усовершенствование техники.

Феодальные князья часто поддерживали города в их борьбе с более мелкими феодалами и при возможности устанавливали свою власть над городами. В конечном счете это повело к возникновению в Западной Европе первых национальных государств.

Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались иногда мирными средствами, иногда насильственным путем, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские города, за ними последовали города Франции и Центральной Европы.

За купцом и за солдатом следовали ученые, а иногда они были первыми. Испания и Сицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама. Когда в 1085 г.

Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились в этот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиков-евреев, а в двенадцатом столетии мы видим в Испании Платона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Вата и Роберта из Честера – все они переводят на латинский язык арабские математические рукописи.

Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа была достаточно развита, чтобы оценить эти знания.

4. Как мы уже сказали, первые могущественные коммерческие города возникли в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю с арабским миром и с Севером. Итальянские купцы посещали Восток и знакомились с его цивилизацией.

Путешествия Марко Поло доказывают бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти за две тысячи лет до этого, они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более древней цивилизации не только для того, чтобы повторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственной новой системе.

А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.

Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы. Леонардо, которого называли также Фибоначчи («сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как купец. Вернувшись, он написал свою «Книгу абака» (Liber abaci, 1202 г.

), заполненную арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книге «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г.) Леонардо подобным же образом рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии.

Возможно, что он был к тому же оригинальным исследователем, так как в его книгах есть немало примеров, по-видимому, не имеющих точных соответствий в арабской литературе. Впрочем, он цитирует ал-Хорезми, например, при рассмотрении уравнения .

Задача же, которая приводит к «ряду Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, каждый член которого есть сумма двух ему предшествующих, – по-видимому, является новой.

Должно быть, новым является и его замечательное доказательство того, что корни уравнения  нельзя выразить с помощью евклидовых иррациональностей вида  (следовательно, их нельзя построить с помощью только циркуля и линейки). Леонардо доказал это, проверяя каждый из пятнадцати случаев Евклида, а затем приближенно определил положительный корень этого уравнения, вычислив шесть шестидесятичных знаков.

Ряд Фибоначчи получается при решении следующей задачи:

Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут?

«Книга абака» была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные случаи применения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо – из Испания и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые, паломники и солдаты.

Самый древний европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы, – это «Вигиланский кодекс» (Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 г. Однако эти десять знаков медленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 г.

Греческая система нумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течение столетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске со счетными жетонами или камушками (часто это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в основном сходном со счетными досками, которыми все еще пользуются русские, китайцы, японцы.

Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течение средних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах, и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения индийско-арабских знаков выступали и широкие круги, так как использование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг.

В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г.) флорентийским банкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь в четырнадцатом столетии итальянские купцы начали применять некоторые арабские цифры в своих счетных книгах.

5. Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике стал распространяться и на северные города.

Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации.

В течение долгого времени математика такого рода хранила явные следы своего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и алгоритм.

Теоретическая математика не исчезла целиком в Средние века, но ею занимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов изучение Платона и Аристотеля, в сочетании с размышлениями о природе божества, приводило к тонким рассуждениям относительно сущности движения, сущности континуума и бесконечности.

Ориген, следуя Аристотелю, отрицал существование актуально бесконечного, но святой Августин в своем «Граде божьем» принимал всю последовательность целых чисел как актуальную бесконечность. Он говорит об этом так, что, по замечанию Георга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному и нельзя его лучше определить и обосновать, чем святой Августин.

Писатели-схоласты средневековья, в частности Фома Аквинский, принимали аристотелевское «нет актуально бесконечного» (infinitum actu non datur) и каждый континуум рассматривали как потенциально делимый до бесконечности. Таким образом, не было наименьшего отрезка, ибо каждая часть отрезка обладала свойствами отрезка.

Поэтому точка не была частью линии, поскольку точка неделима: «из неделимых нельзя составить какого-либо континуума» (ex indivisibilis non potest compari aliquod continuum). Точка могла образовать линию с помощью движения.

Подобные рассуждения оказали влияние на изобретателей исчисления бесконечно малых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинитным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор знали авторов-схоластов и размышляли о значении их идей.

Эти духовные лица иной раз получали результаты, которые имели непосредственное математическое значение.

Томас Врадвардин, который стал архиепископом Кентерберийским, изучив Боэция, занимался исследованием звездчатых многоугольников.

Наиболее значительным среди этих средневековых математиков из духовенства был Николай Орезм, епископ города Лизье в Нормандии, применявший дробные степени. Так как , он записывал 8 как  или как , что обозначало .

Он написал также трактат под названием «О размерах форм» (De latitudinibus formarum, ок. 1360 г.), в котором он графически сопоставляет значение зависимого переменного (latitudo) и независимого переменного (longitudo).

Это нечто вроде перехода от координат на земной или небесной сфере, известных в античности, к современной координатной геометрии. Этот трактат несколько раз был напечатан между 1482 и 1515 гг.

, и возможно, что он оказал влияние как на математиков Ренессанса, так и на Декарта.

6. Математика развивалась главным образом в растущих торговых городах, под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии и землемерия. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Зомбарт окрестил эту заинтересованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатого столетий немецким словом Rechenhaftigkeit.

Ведущими представителями этой приверженности к практической математике были мастера счета, и только изредка к ним присоединялся кто-либо из университетских людей, понявший благодаря изучению астрономии важность улучшения вычислительных методов. Центрами новой жизни были итальянские города и такие города Центральной Европы, как Нюрнберг, Вена и Прага.

После падения Константинополя в 1453 г., когда Византийская империя перестала существовать, многие ученые греки переселились в города Запада. Возрос интерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот интерес.

Профессора университетов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета не оставались в стороне и старались понять эту новую науку на свой манер.

Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, иначе Региомонтанус, ведущая математическая фигура пятнадцатого столетия.

В деятельности этого замечательного вычислителя, мастера инструментов, печатника и ученого выявились те достижения европейской математики, которые были сделаны в течение двух столетий после Леонардо Пизанского. Региомонтанус усердно переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков.

Еще его учитель, венский астроном Георгий Пурбах (Peurbach), автор астрономических и тригонометрических таблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея. Региомонтанус закончил этот перевод и, кроме того, перевел Аполлония, Герона и наиболее трудного из всех – Архимеда.

Его главное оригинальное произведение – книга «О различных треугольниках» (De triangulis omnimodus libri quinkue, 1464 г., напечатана лишь в 1533 г.), полное введение в тригонометрию, отличающееся от наших нынешних учебников главным образом отсутствием современных удобных обозначений.

Здесь содержится теорема синусов для сферического треугольника. Все теоремы все еще формулируются словесно. Отныне тригонометрия становится наукой, не зависящей от астрономии.

Нечто подобное было сделано Насир-ад-Дином в тринадцатом столетии, но существенно то, что его труды не получили значительного дальнейшего развития, тогда как книга Региомонтануса оказала глубокое влияние на дальнейшее развитие тригонометрии и на ее применение к астрономии и алгебре. Много труда положил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических таблиц. Он составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту, принимая радиус окружности равным 60 000 (опубликована в 1490 г.).

Значения синуса рассматривались как отрезки, представляющие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длины радиуса.

При большем радиусе достигалась большая точность и не надо было применять шестидесятичные (или десятичные) дроби.

Систематическое применение радиуса, равного 1, и тем самым определение синуса, тангенса и т. д. как отношений (чисел) идет от Эйлера (1748 г.).

Следующая страница

  • Глава V. Западная Европа. – Начало

:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон

VIP Казань — Казань для достойных людей

Источник: http://www.reshebnik.ru/history/05

Математика европейского средневековья и эпохи возрождения

Глава 2 Возрождение математики в Западной Европе

Пути развития математики в Европе в V—XV вв. На европейском континенте математика не имеет столь древнего происхождения, как во многих странах Ближнего и Дальнего Востока.

Если не считать математики римлян (о которой мы не будем специально говорить из-за недостатка места и времени, а также слабого уровня научно-теоретического развития и влияния на последующее развитие математики), то заметные успехи европейской математики появились только в эпоху развитого средневековья и особенно Возрождения.

Наступление эпохи средних веков в Европе, или эпохи феодализма, относят к V в. н. э., к тому

времени, когда пала западная Римская империя. В течение V—X вв. происходит длительный процесс становления феодальных отношений в Европе, раздробленной на множество владений. Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен весьма слаб. На XI—XIV вв. падает пора расцвета феодализма.

В это время происходит разделение труда между городом и деревней, ремеслом и земледелием. Растут города и развиваются товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в борьбе и войнах складываются национальные государства. В XIV в. феодальный мир потрясают крестьянские войны, в которых за религиозной окраской нетрудно разглядеть их антифеодальную сущность. В XV—XVIII вв.

происходит созревание в недрах феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом развитии ряда стран Западной и Центральной Европы известно под именем Возрождения.

Техника средневековой Европы, вначале примитивная и разобщенная, приобретает к концу этого периода массовый характер, а уровень технических достижений быстро повышается.

Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в VIII в., набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превратилась в заметную область европейской промышленности.

В том же веке были открыты свойства магнитной стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла в связи с производством очков, зеркал, подзорных труб были

введены лишь в XIV в. Около 1100 г. изобретены часы с колесным, позднее колесно-пружинным механизмом, а через 100 лет — часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а книгопечатание было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII—XIV вв.

все шире стал применяться порох.

Эти примеры показывают, что технические достижения европейских народов, вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия для ускорения технического прогресса и для смены всей системы экономических, политических, научных и культурных отношений и воззрений.

Аналогичную картину вначале очень замедленного, затем все более ускоряющегося развития и, наконец, коренного, революционного преобразования представляют естествознание и математика в средневековой Европе. Действительно, в V—XI вв. уровень математических знаний в Европе был весьма низким.

Сколько-нибудь крупных математических открытий или сочинений не удается обнаружить. Даже образованные люди редки. По-видимому, единственными хранителями математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы, были немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие естественнонаучные и математические сочинения древних.

Мертвящее влияние церкви накладывало сильнейший отпечаток схоластики и на эти

островки знания. Основной организационной предпосылкой развития математики в Европе было открытие учебных заведений. Одно из первых подобных заведений организовал в г. Реймсе (Франция) Герберт (940—1003), позднее ставший римским папой под именем Сильвестра II.

Через столетие, в XII—XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми ранними университетами были итальянские в Болонье, Салерно и других городах. Вслед за ними были открыты университеты в Оксфорде и Париже A167), Кембридже A209), Неаполе A224), Праге A347), Вене A367) и т. д. Это были учебные заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе

университетов стояли отцы-настоятели (ректоры), во главе факультетов— деканы. Студенты сначала обучались на подготовительном факультете искусств (артистическом), затем переходили на один из основных факультетов: богословский, юридический или медицинский. Математика входила составной частью в семь свободных искусств (artis liberalis), изучавшихся на факультете искусств.

Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый, составлял тривиум: грамматика, риторика, т. е.'искусство устно выражать мысли, и диалектика, или умение вести спор. Второй

концентр — квадривиум, включал в себя арифметику, геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень математических познаний выпускников университетов был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только… клятва, что он знает шесть книг

евклидовых «Начал». Так как университеты были подчинены реакционным устремлениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные умствования и споры, оправдывая тот позднейший смысл, который вкладывается поныне в слово «схоластика».

Система средневекового образования в течение нескольких веков была необходимой, но недостаточной предпосылкой развития математической науки. При таком положении дел, естественно, математические знания не совершенствовались в европейских учебных заведениях. Они привносились извне.

В малой части это были сохраненные остатки математики римлян, или греческо-византийских государств. В большей же части научные знания приобретались путем перевода сочинений с арабского языка на латинский.

Таким путем европейцы познакомились с «Началами» Евклида, «Альмагестом»Птолемея и другими трудами античных математиков, с рядом сочинений математиков Средней Азии и Ближнего Востока.

Некоторое оживление в математике наступило в XIII в. в связи с двумя факторами: борьбой против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом A214—1294), и математическими

трудами Леонардо Пизанского (ок. 1200 г.). Первый из них в своей резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере, опыт как единственный источник научного познания. В центре

всей опытной науки находятся, по Бэкону, физико-математические знания. Вообще все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т. е. всего естествознания. Роль математики

повышалась в связи с ростом прогрессивных сил в философии.

Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода. Он получил хорошее математическое образование в Алжире, где жил его отец — один из торговых представителей богатого и сильного итальянского города Пизы.

По торговым делам Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, пополняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он написал «Книгу об абаке». Эта книга является подлинной энциклопедией математических знаний народов, живших на берегах Средиземного моря.

Более 200 лет она являлась непревзойденным образцом математических сочинений для европейцев и подготовила новые успехи математики в эпоху Возрождения.

В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8—11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб. Разнообразный набор задач, решаемых с помощью

простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой

степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями», т. е. с выражениями вида а±УЬ.

Завершается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.

Другое сочинение Леонардо «Практическая геометрия», написанное около 1220 г., посвящено измерению площадей многоугольников и объемов тел вплоть до объема шара.Доказательства теорем взяты из работ Евклида и Архимеда; встречаются задачи, свидетельствующие о знании Леонардо начал тригонометрии. Известно еще одно сочинение Леонардо — по теории чисел.

В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида а также об отыскании рациональных решений уравнений у2=х2+а\ z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по математике и о решении им трудных задач.

Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи Возрождения (XV—XVI вв.), в историю математики не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных преобразований. Их не любят математики, мало на них останавливаются.

Однако в эти «вспомогательные» столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых.

Идеи и результаты, накопленные в сочинениях Леонардо и других математиков, содержание переводимых книг античных авторов, наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач — все это влекло к новому научному подъему.

В этих условиях наметились два главных направления развития математики, в которых последняя достигла наибольших успехов. Это были: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.

Еще современник Леонардо генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237 г.) изображал с помощью букв произвольные числа.

Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, a-b=d и т. д.).

Подведем итоги, не умножая количество примеров. В течение V—XV вв. б Европе постепенно сложилась система обучения, включавшая в себя математику,— система, через которую регулярно пополнялся слой образованных людей.

Ученые, интересовавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали достижения античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии через посредство широко распространившейся практики перевода арабских рукописей научного содержания на латинский язык — универсальный язык науки средневековья.

Математика развивалась в связи с практическими запросами техники и мореплавания, в связи с чем вначале медленный темп научной жизни к концу рассматриваемого периода заметно ускорился.

Большое стимулирующее воздействие на развитие математики оказали прогрессивные течения средневековой философии, идеологическая борьба против засилья церкви, феодалов, против застывших схоластических догм, освящаемых авторитетами и политикой светских и духовных репрессий. Определение места математики в системе наук как азбуки

естествознания, или, как последнее иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее положение и ускорило процесс создания в математике фундамента основных знаний, накопления

предпосылок для новых успехов. Совокупность воздействующих на математику факторов оказалась таковой, что в ней опреде- определились наибольшие успехи в создании формально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и пущен в научный обиход, особенно в XV—XVI вв.

, ряд мыслей, имеющих большое значение для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени, предвестники систем логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы небольшой, но практический, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла во все ускоряющееся движение.

Математика эпохи Возрождения. Математика и естествознание вообще в XV—XVI вв. в Европе развивались в обстановке бурных изменений, связанных в своей экономической основе с начавшимся разложением феодального общества и установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в промышленности, выливаясь в форму мануфактур с

характерным для них разделением труда и введением машин и технических усовершенствований. Невиданное ранее развитие стали получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые великими географическими открытиями. В политическом отношении изменения состояли, в основном и главном, в том, что мощь и влияние феодального дворянства были сломлены под

напором королевской власти при поддержке горожан и образованы крупные, по существу национальные монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в Италии, Франции и других

странах, изобретение книгопечатания (в середине XV в.) определили совершенно новый уровень умственных запросов и занятий все распространяющегося круга людей.

Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обогатил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах.

И в этой именно области были достигнуты первые успехи — решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степени. Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили успеха.

Задача с течением времени преобразовывалась и

стала трактоваться как задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени пЪ в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет.

Только в XIX в. Абель A802—1829) доказал, что уравнения степени я>4, вообще говоря, в радикалах не решаются. Галуа связал с каждым уравнением специальную группу подстановок его корней— группу Галуа, и свел проблему к исследованию структуры этой группы, ее разрешимости.

Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софистическими; показывает на примере х-±у= 10, ху = 40, что эти корни встречаются попарно, т. е. х]У2 = 5±У—15, но решить такого рода уравнения считает невозможным. Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым

случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» A572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными чис-

числами, опирающиеся на правила: ± i • ± i =—1, ± i • Т / = 1, установил, что все выражения, содержащие „софистические минусы” Кардано, преобразуются к виду а-\ Ы. Но введение

для частных целей общих операций с комплексными числами выдвигает «Алгебру» Бомбелли в число ближайших предшественников работ Гаусса по этому вопросу.

Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием математической символики. Последняя, когда она достаточно хорошо отражает реальную сущность математических

операций, активно воздействует на математику и сама приобретает оперативные свойства. В истории математики историю символов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно

многое восстановить и понять. В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход

от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования) слов, а затем введения символов. Уже у Кардано переход этот очень заметен. Единую систему алгебраических символов, последовательно проведенную, первым дал, по-видимому, Виета.

Появление буквенного алгебраического исчисления являлось одной из сторон более общего и глубокого явления в истории математики — возникновения алгебры как общей науки об

алгебраических уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо передают этот переломный момент.

Франсуа Виета A540—1603)—французский математик, юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагоги- педагогических занятий в одной влиятельной семье у него возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по его мнению систему Коперника. В связи с этим замыслом Виета положил много сил на усовершенствование

тригонометрии и достиг замечательных успехов. Блестяще образованный Виета быстро продвигался по служебной лестнице, и наконец сделался близким советником и придворным ученымфранцузских

королей Генрихов III и IV. Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным от придворных дел вследствие происков политических противни- противников, он употребил свой досуг на написание главного труда своей жизни «Введение в искусство анализа» — огромного и чрезвычайно обстоятельно написанного сочинения по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г.

частями, в значительной части после смерти автора и не был полностью завершен. Замысел Виеты определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраических приемов.

Но число отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более общем виде с буквенными коэффициентами.

Кроме того, необходимо было сочетать эффективность алгебраических приемов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы подлинно научного анализа.

Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica numeralis. Исчисление букв получает название logistica speciosa от слова species— член математического

выражения. Исчисление распадается на: зететику — искусство решения уравнений; пористику — искусство доказательства правильности полученных решений; экзегетику — общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные—согласными.

Числа — безразмерны, положительны, рациональны (в случаях иррациональностей Виета переходит на язык геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень величины называется latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — solidum (тело).

Далее следуют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами. Последние, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем умножения на единицу длины. Умножение и деление вызывают изменение размерности.

Эти идеи Виеты в его время отражали наличие не преодоленного еще разрыва между числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.

Символика Виеты также отягощена еще грузом геометрических привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возможным выражение уравнений, их свойств, общими формулами.

Объектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виета в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические открытия».

Кстати, символы Виеты были вскоре усовершенствованы его младшими современниками, особенно Гэрриотом A560—1621).

В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения. Особенно отчетливо эта особенность проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и обстоятельно изложены сведения об уравнениях 1—4-й степеней.

Общий характер записи позволяет Виете все изложение строить не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений.

Для этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразований, опирающийся на подстановки: (чтобы исключить член, имеющий неизвестное во второй по величине степени),

(для исключения члена, содержащего ), x=ky (с цельюустранения дробных коэффициентов), (чтобы придать коэффициенту при х данное значение) и др. От радикалов он освобождал- освобождался путем отъединения одного члена и возведения обеих сторон уравнения в степень.

На примере работ Виеты мы показали, что в европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Последняя содержала полный запас методов решения уравнений первых четырех степеней.

Алгебраисты завершили символическое оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от астрономии, ее результаты получили достаточную степень общности. Полностью освоено учеными геометрическое наследие древних.

Математика постоянных величин к концу XVI в. завершала цикл своего формирования. В ней еще многое было недоделано, было неясно, хотя она представляла уже достаточно полный круг знаний, охваченных единой системой. Конечно, доделки и усовершенствования элементарной математики идут и в наши дни.

Но на повестку дня математической науки XVII век поставил другие задачи. Центр тяжести научных исследований сместился в область переменных величин, В математике наступал новый период.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/10_173543_matematika-evropeyskogo-srednevekovya-i-epohi-vozrozhdeniya.html

§ 19. Математика в Западной Европе в X XIV вв

Глава 2 Возрождение математики в Западной Европе

ВVв. в Западной Европе наступает эпохафеодализма. Она делится на три периода.

  1. Ранний феодализм (V-XI вв.).

Происходитзакрепощение крестьян. Города и торговлянаходятся в упадке. Складываются новыенарядности, появляются новые языки.Возникают небольшие феодальныегосударства.

  1. Период развитого феодализма (XI-XV вв.).

Ремеслаотделяются от сельского хозяйства,растут города, крепнут ремесленные цехаи купеческие гильдии, ширятся торговляи денежное хозяйство. Появляются крупныегосударства: Англия, Франция, Испания.

  1. Период позднего феодализма (XV-XVII вв.).

Длянего характерны разложение феодальногостроя и появление новых классов –пролетариата и буржуазии. Совершаютсявеликие географические открытия.Образуются новые нации. Наступаетрасцвет эпохи Возрождения, особенно вИталии. Происходят первые буржуазныереволюции в Нидерландах и Англии.

Математикана первых порах требовалась для нуждфеодального и монастырского хозяйства,позднее – для торговли и ремесел. Крометого, вопросы математики входили вквадривиум (четырехпутье), которымдолжны были владеть образованные люди.Квадривиум включал в себя элементыарифметики, геометрии, астрономии имузыки (математической теории музыки).

Первымиматематическими сочинениями, имевшимиширокую известность, были переводы налатинский язык бывшего римского патрицияБоэция (V-VIвв.)нескольких книг «Начал» Евклида и«Арифметики» Никомаха, греческогоученого I-IIвв.

ВXв. выделился ученый Герберт. Это былфранцузский монах, который позднее сталримским папой под именем СильвестраII.По-видимому, ему принадлежит сочинения«Правила счета на абаке» и «Книжка оделении чисел». В то время считали наабаке, причем наибольшие затрудненияздесь доставляло деление.

В результате внутрицерковной борьбы за властьГерберт был лишен сана папы, причемсреди предъявленных ему обвинений былотакое: он слишком хорошо умеет делитьбольшие числа, не иначе, как ему помогаетдьявол. Герберт вместо камешков, которыеобычно использовались при счете наабаке, применял нумерованные жетоны,которые назывались апексами. Знаки нажетонах близки к западноарабским цифрам.

Они важны в том отношении, что от нихпроисходят первые в Западной Европецифры десятичной позиционной нумерации.

ВXв. испанцы начали вытеснять арабов изсвоей страны. В отвоеванных у арабовиспанских городах западноевропейскиеученые обнаружили богатую научнуюлитературу, как собственно арабскихавторов, так и сочинения, переведенныес греческого языка на арабский.

Начинаютсяпереводы этой литературы на латинскийязык, который стал тогда и до XVIIIв. оставался международным языком науки.Самый большой размах переводы приобрелив XIIв. Наиболее выдающимся из переводчиковбыл итальянец Герардо, который посвятилэтому делу свою жизнь.

Он перевел «Начала»Евклида (позднее, в XVв.

«Начала» были найдены в греческоморигинале и переведены непосредственнос греческого на латинский язык), «Измерениекруга» Архимеда, «Конические сечения»Аполлония, «Альмагест» Птолемея, алгебруал-Хорезми, ряд сочинений по философии,логике, физике и др.

Появляютсяуниверситеты. Первый университет былоснован в Салерно (Италия) в XIв. в составе одного медицинскогофакультета, следующий – в Болонье(Италия) в начале XIIв., первоначально в виде юридическойшколы. В конце XIIв. появился Парижский университет,который вскоре стал крупнейшим в ЗападнойЕвропе, и университет в Оксфорде. В XIIIв. были созданы университеты Кембриджеи Неаполе, в XIVв.

– в Праге, Вене, Гейдельберге и т.д.Типичный средневековый университетсостоял из четырех факультетов –искусств, богословия, права и медицины.Студент сначала поступал на факультетискусств, который играл рольподготовительного, и обучал на нем околошести лет. После испытаний он переходилна другой факультет. Самым важнымсчитался богословский факультет, накотором студенты около восьми лет.

Математикеобучались на факультете искусств вобъеме квадривиума, а некоторые болеетонкие вопросы рассматривались в курсахфилософии. Позднее стали читать лекциипо «Началам» Евклида, первоначально вобъеме не более одной-двух первых книг,но экзамены по этому курсу не проводили.В течении нескольких столетий в университетах не было кафедр математики,ни особых преподавателей математики.

Первымсамостоятельным математиком ЗападнойЕвропы был Леонардо Фибоначчи (1180-1240),или Леонардо Пизанский, так как он былродом из города Пизы в Италии. Вместе сотцом он жил в Алжире в связи с торговымиделами отца и изучил там арабскуюарифметику и алгебру, а во время поездокв Сирию, Египет, Сицилию и Византиюпополнил свои знания по математике.

Главноесочинение Леонардо – «Книга Абака»;появившееся в 1202г. Несмотря на название,оно посвящено арифметике и алгебре (подсловом «абак» он понимал всю арифметику).

Арифметику и алгебру арабов он изложилнастолько полно и глубоко, как никто донего, добавив к этому некоторые сведенияиз Евклида и отдельные собственныеоткрытия. «Книга абака» резко выделяетсясреди аналогичной литературы ЗападнойЕвропы силой методов, разнообразиемзадач, доказательностью изложения.

Втечении примерно двухсот лет книгаЛеонардо была для ученых главнымсочинением по алгебре и сыграла важнуюроль в утверждении десятичной позиционнойнумерации чисел.

Всегов книге 15 глав посвящены арифметике:арифметика натуральных чисел на основеновой нумерации, арифметика дробей исмешанных чисел, задачи коммерческойарифметики, решение которых основанона пропорциональной зависимости, задачина смешение др.

Вглавах XII-XVрассматриваются вопросы алгебры:суммирование арифметической игеометрической прогрессий, формуласуммы квадратов

линейныеуравнения и системы линейных уравнений,которые решаются разными методами, втом числе методами одного и двух ложныхположений, неопределенные уравнения исистемы таких уравнений, квадратныеуравнения и системы уравнений второйстепени, правила приближенного вычисленияквадратных и кубических корней, а такжегеометрические задачи на теоремуПифагора. Изложение словесное,алгебраической символики нет.

Средисобственных задач Леонардо обращаетна себя внимание задача о кроликах:сколько пар кроликов родится за год отодной пары, если каждая пара приноситежемесячно по паре кроликов разногопола, способной через месяц к размножению,и если ни одна пара не погибнет? Прирешении задачи получается последовательность1,1, 2, 3,5,8,…, которая задается рекуррентно:

аответом является сумма

Этапоследовательность позднее получиланазвание последовательности Фибоначчии до наших дней применяется в математике.

В1220 г. Леонардо выпустил книгу «Практикагеометрии», в которой приводятся сдоказательствами разнообразные теоремыпо планиметрии и стереометрии. Так, онрассматривал теорему о квадрате диагоналипрямоугольного параллелепипеда, котораяотсутствует в « Началах» Евклида.

ВXIII-XIVвв. среди ученых Западной Европыпоявляется немало профессионалов-математиков. Одним из них был НикольОрем, французский ученый XIVв.

Орем известен следующими открытиями:1) наряду со степенями с натуральнымипоказателями, которые были известны идо него, он ввел степени с дробнымипоказателями; 2) построил учение оравномерных, равномерно-неравномерныхи др. линейных качествах( т.е.

фактическио равномерном, равноускоренным и др.движениях); 3) доказал расходимостьгармонического ряда

Источник: https://studfile.net/preview/2975897/page:21/

�стория науки и техники Com New

Глава 2 Возрождение математики в Западной Европе

В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения.

А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений.

Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940-1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.

Французский монах Герберт из Орильяка – первый профессиональный ученый католической Европы.

В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете.

Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов – во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или �талии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии – Кордову и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.

Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу.

В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие – также арабскому и древнееврейскому языкам.

Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников.

Герберт привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей.

В реймсской школе Герберта, кроме прочих наук, учили счету с применением счетной доски – абака, которую усовершенствовали путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами.

В то время существовало много способов счета. Были даже две враждующие партии: абакистов и алгоритмиков.

Первые отличались требованием обязательного использования абака и двенадцатиричной римской нумерации.

Алгоритмики пользовались индусскими цифрами, некоторые вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли шестидесятиричные дроби.

В спорах формировались системы счисления и приемы арифметического счета, все более близкие к привычным нам системам и приемам.

Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту.

В 996 году один из его питомцев (Роберт II) получил корону Франции; Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции.

В 999 году другой его ученик (Оттон III) стал императором Священной Римской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой.

В Риме нового папу многие восприняли как чернокнижника.

Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски – абака и не пользуется римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные оргбны, а богословских споров избегает. Небывалый человек на престоле святого Петра!..

Не хватало широких контактов между католическим и исламским миром.

Они начались только в эпоху Крестовых походов – в самом конце XI века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу Толедо.

Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в �талии.

Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или греческого языков труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел «Начала» Евклида и ряд книг Хорезми. Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.

Длинное название книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») арабы сократили до первого слова: получилось «Величие» – Аль-Магест.

Новым европейцам понравилось второе слово в этом названии – «Учение» (Математика).

� вот с XII века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.

В XII–XIII веках появились в Европе университеты. Самыми первыми были итальянские в Болонье и Салерно. Вслед за ними открылись университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367).

Эти учебные заведения были безраздельно подчинены церкви.

Уровень математических познаний выпускников был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI века от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только клятва, что он знает шесть книг евклидовых «Начал».

В 1202 году Европа получила первый собственный учебник арифметики для широкого читателя, называвшийся «Книга Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180–1240). Арифметике он учился в Алжире у местных мусульман.

Позднее Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «Книгу квадратов». В них впервые были изложены на латыни правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.

В «Книге Абака» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями.

Отделы 8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб (помните об алхимии).

Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями». Завершается «Книга Абака» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкой к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.

Время, протекшее после работ Леонардо Фибоначчи вплоть до эпохи Возрождения, в историю математики не внесло ярких идей и больших открытий.

Однако в эти столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Но что более важно, шла подготовка собственных кадров.

Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых, а наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач влекло к новому научному подъему.

В этих условиях наметились два главных направления развития математики: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.

Еще современник Фибоначчи генерал доминиканского монашеского ордена �ордан Неморарий (род. 1237) изображал с помощью букв произвольные числа.

Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, ab=d и т. д.).

Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328–1382) обобщил понятие степени, введя дробные показатели степени, правила производства операций над ними и специальную символику, предваряя фактически идею логарифма.

В конце XV века бакалавр Парижского университета Н.

Шюке, помимо дробного показателя степени, ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов образовано путем сокращения слов. Например, m – сокращение слова minus. Знаком корня служит R от слова radix, корень, знаком сложения – р.

В Англии развивал теорию ученый богослов Роберт Гросетест («Головастый»), епископ Линкольна (1175–1253), увлекавшийся к тому же оптикой.

Он начал суммировать бесконечные ряды чисел и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью.

Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов – медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки.

Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин, вторым после Архимеда, на четыре столетия опережая Ньютона.

Гросетест считал, что античных классиков (особенно Аристотеля) нужно изучать в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, сделанным к тому же с арабских переводов.

Поэтому Гросетест пригласил в Англию ученых греков – беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году.

Так в Оксфорде и Кембридже появились первые греческие профессора.

Среди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор – организатор первого выборного парламента в Англии.

Коллегой и соперником Роберта Гросетеста был Фома Аквинский (1225–1274), решивший следовать Аристотелю и Евклиду, чтобы изложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.

Жан Буридан (1300–1358) был профессором Парижского университета (Сорбонны). Многим известны рассказы о буридановом осле.

Этот осел из теории ученого стоял между двух одинаковых кормушек с сеном и не мог решить, откуда поесть. � сдох.

Эти мысленные эксперименты дают представление о попытках развития принципов доказательства.

Еще один профессор Сорбонны, Раймонд Луллий (1235–1315), прочел книги Аристотеля и Евклида глазами инженера; в результате появилась идея машины, автоматически выполняющей все арифметические действия с числами и логические операции над любыми утверждениями. Это был первый проект механического счетного устройства. Построить его Луллию не удалось: слишком низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире.

Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и XVI веках математики Южной Германии.

Они разработали несколько систем символов, более удобных для записи математических действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к понятию логарифма.

Так же были очевидны успехи тригонометрии, явившиеся следствием развития астрономии.

Факты тригонометрии были восприняты, как и другие факты математики, в большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка.

При этом в поле зрения европейских математиков оказывались достижения астрономов и математиков как Византии, так и более поздней арабской науки.

В XV веке, когда дальние плавания стали возможны, когда изученный мир стал расширяться и представления о нем быстро изменялись, резко возрос интерес к астрономии.

Это была пора, непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Африки (1498), первому кругосветному плаванию (1519), открытию и доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473–1543). В 1461 году в Европе появилось сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть математики. Написал его немецкий математик �оганн Мюллер (1436–1476), более известный как Региомонтан.

В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам.

При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае геометрических несоизмеримостей, и прилагая алгебру к решению геометрических задач.

Тем самым было открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач.

Региомонтан продолжил начатую ранее другими учеными работу по составлению таблиц тригонометрических функций.

Его таблица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака.

Для этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были известны.

Он ввел в европейскую практику тригонометрические функции, получившие в XVII веке названия тангенса и котангенса, составив таблицу их значений.

В 1482 году в Венеции была впервые напечатана (по латыни) книга Евклида «Начала». С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.

Источник: http://ComNew.ru/text/nauka/111.htm

Book for ucheba
Добавить комментарий