Глава 4 Неевклидовы геометрии

Глава 4. О неевклидовой геометрии

Глава 4 Неевклидовы геометрии

Макеты страниц

Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период ее становления был длительным! В течение более 2000 лет после Евклида мнргие математики вели напряженный научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического) процесса.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной. Имеются пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Последний, пятый, постулат известен как постулат о параллельных.

Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения,

например: «Если к равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными».

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддается восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознан позже.

Вопрос заключается в том, можно ли этот постулат считать не самим по себе верным, а выводимым из других постулатов и аксиом. Если утверждение может быть доказано, то тогда нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата.

А если так, то это свидетельствует, по словам Д'Аламбера, о «подводных камнях и капризном характере геометрии…»

Многие комментаторы Евклида, находившиеся во власти этого евклидова) положения, пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода исследований не имели результата.

Не исключено, что сам Евклид прищел к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата лишь после неудачных попыток найти его доказательство.

По-видимому, его исследования в этом направление были скорее безуспешными, чем незавершенными.

Этот опыт в настоящее время породил целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей теоретической математики.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате продолжительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки.

Например, через точку, находящуюся вне данной прямой линии, можно провести только одну прямую линию, параллельную данной.

Или — сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых.

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о справедливости постулата о параллельных и, наоборот, допустив, что любое одно из вышеприведенных суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведенные утверждения равносильны, или, как еще говорят, эквивалентны.

Среди попыток доказательства постулата о параллельных заслуживают особого внимания исследования Дж. Саккери (1677—1733) и Лежандра (1752—1833).

Саккери, проведя к горизонтальной прямой вертикальные и равные отрезки и соединил точки То, что углы равны, можно доказать и без использования постулата о параллельных, однако при доказательстве того, что угол С равен прямому, постулат становится необходим. Напротив, предполагая, что угол С — прямой, можно вывести постулат о параллельных.

Рис. 44

Саккери, проявляя достаточную широту подхода к этому вопросу, рассмотрел три возможных случая:

1) когда угол С — прямой;

2) когда угол С — тупой;

3) когда угол С — острый.

Затем он пытался доказать осуществимость только первого случая. И хотя в конечном счете он потерпел неудачу, результаты, полученные им, позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса.

Среди важных результатов, полученных Саккери, имеется следующая теорема: если предположить, что для какой-либо построенной таким образом фигуры справедливо одно из трех вышеупомянутых положений, то такое же условие будет иметь место и для любой другой фигуры, построенной аналогичным образом.

Исходя из какого-нибудь одного из трех допущений, можно вывести, что сумма внутренних углов треугольника либо равна двум прямом, либо больше, либо меньше суммы двух прямых.

Так, из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей прямой величины соответственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении.

Рис. 45

Далее, из второго допущения следует, что эти две прямые, напротив, пересекутся.

И наконец, из третьего допущения вытекает, что существует неограниченное число прямых, которые не пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, расположенную вне этой прямой.

Вероятно, в конечном счете Саккери, подобно другим исследователям, потерял основную нить в «безграничном болоте» рассуждений. Вполне возможно, что если бы Саккери в какой-то момент отказался от привычной мысли о том, что «евклидова геометрия — это единственная истина», то, как знать, он, может быть, стал бы первооткрывателем другой, неевклидовой геометрии.

Много усилий для доказательства постулата о параллельных линиях приложил также Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Основным результатом исследований Лежандра были, по-видимому, следующие выводы:

из допущения, что длина прямых линий неограниченна, следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух Лрямых углов; если в одном треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то и во всяком любом другом треугольнике эта сумма равна двум прямым.

Считая евклидову геометрию «единственно истинной», он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сумме двух прямых, но цели не достиг.

В это же время Гаусс (1777—1855) и некоторые из его учеников — Швейкарт (1780—1859),

Тауринус (1794—1874) и другие — вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».

Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724—1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной.

Однако постепенно он пришел к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных линиях. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида.

Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноября 1824 года).

Хотя из писем и заметок Гаусса явствует, какое значение он придавал новой геометрии, однако Гаусс не напечатал трудов по неевклидовой геометрии.

Считают, что это произошло потому, что Гаусс боялся шумных скандалов со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов из Готама», которые могли вспыхнуть из-за исключительной новизны его идей.

Говорят, что у него была мысль опубликовать «в элегантной манере» положения неевклидовой геометрии вплоть до деталей.

В 1832 году Гаусс прочел приложение к книге по геометрии, изданной в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775—1856). В нем сын Фаркаша-Янош Бойяи (1802—

1860) — изложил основы неевклидовой геометрии.

Пока кратко остановимся на достижениях учеников и последователей Гаусса.

Швейкарт, профессор права в Марбургском университете, в 1818 году передал Гауссу свои геометрические исследования, содержание которых сводилось к новой системе

геометрических представлений, в основе которых лежало положение о том, что сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Сам он дал этому название «Небесная или звездная геометрия».

Племянник Швейкарта Тауринус, который также интересовался проблемой параллельных линий, написал сочинение под названием «Основные элементы геометрии», в приложении к которому была приведена важная формула для углов треугольника в неевклидовой геометрии. Этот труд тогда не привлек внимания ученого мира, и от разочарования основную часть своих «Элементов» Тауринус сжег.

В 1826 году профессор математики Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) в Казанском университете, где он в то время преподавал, обнародовал свое знаменитое сочинение.

В развиваемой им «воображаемой» геометрии утверждалось, что «через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей», а также, что «сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов».

Позднее, в 1840 году, им была

опубликована работа «Геометрические исследования по теории параллельных линий». А незадолго до смерти им была написана работа, подводившая итог его исследованиям, — «Пангеомет-рия».

Фаркаш Бойяи был другом Гаусса еще по Геттингену, и можно полагать, что они обсуждали проблему параллельных линий. Более того, два раза, в 1804 и 1808 году, Бойяи писал Гауссу о трудностях в поиске доказательства постулата о параллельных. Гаусс, обнаружив у него ошибки, ничего не ответил. Ф.

Бойяи, устав от безрезультатных поисков ответа на этот трудный вопрос, впал в меланхолию, занялся сочинением стихов и пьес. Его сын, Янош Бойяи, унаследовал от отца интерес к проблеме параллельных линий. Сначала он продолжил исследования отца, но постепенно стал склоняться к мысли о недоказуемости аксиомы параллельных линий.

В 1823 году он сформулировал основную идею неевклидовой геометрии и 23 ноября сообщил отцу о намерении опубликовать результаты своих исследований по проблеме параллельных линий: «Я сделал изумительные открытия. Отказаться от них я считал бы невосполнимой утратой.

Когда ты прочтешь, дорогой отец, ты безусловно согласишься со мной. Пока я могу сказать только следующее: из ничего я сотворил новый мир», — писал он. Фаркаш Бойяи советовал сыну: «Если исследования действительно завершены, то они должны быть напечатаны как можно скорее.

Ибо новые идеи, новые открытия могут произойти одновременно и независимо в разных местах». Его мысль, так это и произошло в действительности, оказалась верной.

Именно в это время Лобачевский в Казани, Гаусс в Геттингене, Тауринус в Кельне также находились у самого порога великого открытия. Однако работа Я. Бойяи не была опубликована до 1832 года. Результаты работы Я.

Бойяи увидели свет, когда они были напечатаны в конце книги отца «Тентамен» в качестве «приложения, в котором излагается абсолютно истинное учение о пространстве» (Appendix; scientiam absolute veram exhibens).

Сочинение Лобачевского «Геометрические исследования…» 1840 года стало известно Бойяи в 1848 году. И тогда он предпринял своего рода рывок, стремясь завершить большую работу по теории пространства, задуманную им ранее.

Однако значительная часть этой работы представляла собой нагромождение различных черновых набросков, не до конца осознанных и отработанных мыслей и идей.

Его стремление превзойти своего русского соперника осталось неосуществленным.

Истории возникновения неевклидовой геометрии посвящена большая литература. Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и совершенно. независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию. Но, поскольку благодаря убежденности и смелости мысли Бойяи и Лобачевский сочли возможным опубликовать свои труды, честь открытия принадлежит в первую очередь им.

Вспомним, Саккери в своих построениях рассматривал три отдельных случая в

зависимости от величины угла. Между тем Бойяи, Лобачевский и Гаусс рассматривали в неевклидовой геометрии только случай острого угла. Вызывает лишь чувство удивления, что они не рассматривали случай тупого угла, когда сумма внутренних углов треугольника становится больше суммы двух прямых углов и длина прямых линий становится конечной.

Это было рассмотрено Риманом (1826— 1866). О его новой геометрии на сферической поверхности, где любые две прямые линии пересекаются, стало известно в 1854 году. Труды Римана были опубликованы после его смерти, в 1866 году.

Часто встречающиеся в литературе названия геометрии Лобачевского — «гиперболическая», геометрии Римана — «эллиптическая», а евклидовой геометрии — «параболическая» принадлежат Клейну.

Остановимся вкратце на опытах, которые проводил Гаусс. Согласно основному положению Гиперболической геометрии сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов.

Поэтому, чтобы выяснить, какова геометрия реального пространства, Вселенной — гиперболическая, эллиптическая или параболическая, следовало бы ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника.

Тем самым вопрос о том, какова геометрия Вселенной, ставится на естественнонаучную основу. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем

астрономической обсерватории, проводил измерения углов треугольников, поднимаясь на три горные вершины. Однако он не в полной мере отдавал себе отчет в том, сколь значительны неизбежные погрешности этих измерений.

История неевклидовой геометрии здесь изложена достаточно подробно. Трудно тем не менее переоценить то воздействие, которое оказала она во всем мире на расширение научных горизонтов, углубление взглядов на основания математики, на естественнонаучное мировоззрение.

Излагая историю вопроса, мы придерживались главным образом книги Соммервилля «Элементы неевклидовой геометрии» (Лондон, 1914 г.).

Источник: http://scask.ru/j_book_mg.php?id=15

Читать

Глава 4 Неевклидовы геометрии
sh: 1: –format=html: not found

Жуан Гомес

«Мир математики»

№ 4

«Когда прямые искривляются

Неевклидовы геометрии»

Предисловие

Посвящается памяти моих родителей, Висенса и Монсеррат

Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной.

Эдвард Каснер иДжеймс Ньюмен («Математика и воображение», 1941)

Все мы знаем множество геометрических понятий, потому что постоянно используем этот раздел математики в нашей повседневной жизни. Но эти понятия относятся к так называемой «классической», или «евклидовой», геометрии.

Однако существуют другие геометрии, которые устроены совсем не так, как нас учили в школе.

Эта книга не сделает вас специалистом в нетрадиционных геометриях, зато покажет, что реальность гораздо богаче, чем кажется на первый взгляд.

В этой книге описаны другие способы мышления и отношения к геометрии, способы, отличающиеся от тех, которые прочно укоренились в нашей повседневной жизни, и которые определяют наши действия в соответствии с евклидовой геометрией. Можно подумать, что новые геометрии понятны лишь великим ученым, но мы постараемся в последующих главах в наиболее ясной и понятной форме изложить их основы.

Возможно, самым простым способом открытия новых миров является попытка увидеть их проявления в более понятных и очевидных сферах нашей повседневной жизни. Таким образом, наше изложение начнется с короткого путешествия в «геометрию такси», которая основана на так называемом «расстоянии Минковского», отличающемся от расстояния в обычном понимании.

Как бы мы ни хотели улететь в дальние экзотические страны, для начала мы должны не терять землю под ногами. Нам придется обратиться к Евклиду, чтобы понять, как основные элементы геометрии используются в повседневной жизни.

Лишь тогда мы сможем перейти к обсуждению таких понятий, как «пятый постулат» и «проблема параллелей», из которых рождаются интересующие нас новые геометрии.

Лишь владея лучшими инструментами математической теории, мы можем вступить в мир новых геометрий. Сначала проведем разведку, чтобы узнать, как обстоят дела. Мы рассмотрим различные попытки доказательства пятого постулата. Ведь только в XVIII в. непоколебимое на протяжении столетий учение Евклида было наконец поставлено под сомнение самыми выдающимися математиками того времени.

Неудачные попытки доказать пятый постулат поставили под сомнение, казалось бы, неоспоримые основы традиционной геометрии. В это время и проявили себя одни из самых замечательных ученых в области математики. История альтернативных интерпретаций пятого постулата является в равной мере историей неудач и гениальных открытий.

С ней связаны самые известные в истории математики имена: Лобачевский, Бойяи, Гаусс, Риман… Мы более подробно рассмотрим удивительные результаты первой из новых геометрий — гиперболической геометрии Лобачевского и Бойяи.

Мы увидим, как она кардинально изменила наше понимание физической реальности и как она повлияла на исследования Альберта Эйнштейна и открытие им теории относительности.

Эллиптическая геометрия Римана перенесет нас в удивительный мир сфер, где у треугольников сумма внутренних углов больше 180°. Мы воспользуемся сферической геометрией, чтобы ответить на многие вопросы.

Что является кратчайшим расстоянием между двумя городами на поверхности Земли? Можно ли измерить внутренние углы треугольника, вершинами которого являются Париж, Лондон и Мадрид? Решения этих геометрических задач оказываются весьма полезными в нашем глобализованном мире, где GPS позволяет определить координаты любой точки нашей планеты.

Словно река, прорвавшая древнюю плотину, новые идеи смели традиционные научные понятия и породили сотни новых. Мы коснемся также геометрии XXI в. — интегральной и вычислительной геометрии, являющейся основой новых технологий.

Читатели, желающие поглубже изучить эти вопросы, найдут в конце книги список литературы. Алфавитный указатель позволит легко ориентироваться в тексте книги.

Глава 1

Поездка на такси

Нам часто приходится в повседневной жизни измерять предметы. Математическую дисциплину, изучающую такие задачи, древние греки называли геометрией. Это слово происходит от греческого geometrein, где geo означает «земля», a metrein — «измерять». Когда мы говорим о геометрии, мы всегда используем единственное число.

Казалось бы, множественное число — геометрии — подразумевает существование целого ряда возможных дисциплин на выбор. Такой подход звучит слишком заумно, эта идея находится за пределами понимания обычных людей. Тем не менее, так оно и есть: другие геометрии существуют.

Разве ученые абсолютно точно знают, что такое на самом деле точка в пространстве или прямая линия, проходящая через нее? Может ли круг иметь форму прямоугольника? Знаем ли мы, что означает «параллельность»?

Ответы на эти вопросы не являются вечными истинами, а меняются на протяжении времени.

Евклид с полной убежденностью утверждал, что «через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной», но Лобачевский показал, что можно провести много параллельных прямых, практически бесконечное число.

Риман был не согласен с обоими и считал, что параллельные прямые не существуют. Кто же из этих великих математиков прав? Может, все они правы?

Или они все ошибаются?

В данной главе мы как раз и разрешим все эти неопределенности, но, пожалуй, нам лучше начать с простого примера, который наглядно демонстрирует, почему возникает путаница относительно самой природы физической реальности.

Отправляясь из дома на работу или в другое место, мы вычисляем время, которое потребуется на дорогу, исходя из расстояния. Но часто оказывается, что расчеты не соответствуют реальному времени. Пробки, светофоры, дорожные работы — список таких задержек можно продолжать бесконечно. Все это, казалось бы, идет наперекор нашим тщательным планам.

Проблема заключается в том, что мысленно мы моделируем наше путешествие геометрически идеальным образом, представляя наш путь в виде почти прямой линии. Однако реальность вовсе не является геометрически идеальной.

Наши расчеты нарушают не только неисправные светофоры или разгружающие товары грузовики.

Дело еще и в том, что блоки городских зданий не образуют идеальных квадратов, а улицы не пересекаются под идеально прямыми углами… Означает ли это, что невозможно найти оптимальную дорогу, чтобы утром добраться до работы?

* * *

ИЛЬДЕФОНСО СЕРДА (1815–1876)

Известный главным образом как инженер и архитектор, Ильдефонсо Серда обладал многими талантами, занимаясь также экономикой, правом и политикой. Его реформа городского планирования в Барселоне в XIX в.

, получившая название «План Серда», изменила лицо города, в результате чего появился один из самых впечатляющих районов — Эшампле. По-каталонски (I’Eixample) или по-испански (el Ensanche) это означает «расширение».

Улицы Эшампле образуют прямоугольные кварталы, пересекаясь на равных расстояниях друг от друга.

Вид с воздуха на район Эшампле в Барселоне.

* * *

Заколдованные улицы

Как и следовало ожидать, реальность никогда не бывает геометрически идеальной, иначе бы мир был очень скучным, представляя из себя утомительные повторения упорядоченных форм.

Однако рациональность и упорядоченность являются важными критериями, которые необходимо учитывать на практике, например, в городском планировании. По вполне разумным причинам улицы многих современных городов образуют квадратные блоки.

Одним из первых примеров такого городского планирования был район Эшампле в испанском городе Барселоне, детище архитектора Ильдефонсо Серда. Этот район послужит идеальным вводным примером к нашей теме.

Источник: https://www.litmir.me/br/?b=281862&p=1

Жуан Гомес – Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Глава 4 Неевклидовы геометрии
Здесь можно скачать бесплатно “Жуан Гомес – Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии” в формате 2, epub, txt, doc, pdf. Жанр: Математика, издательство «Де Агостини», год 2014.

Так же Вы можете читать книгу онлайн без регистрации и SMS на сайте LibFox.Ru (ЛибФокс) или прочесть описание и ознакомиться с отзывами.На В ТвиттереВ InstagramВ ОдноклассникахМы

Описание и краткое содержание “Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются.

Неевклидовы геометрии” читать бесплатно онлайн.

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше.

Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий.

Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

«Мир математики»

№ 4

«Когда прямые искривляются

Неевклидовы геометрии»

Посвящается памяти моих родителей, Висенса и Монсеррат

Во всей истории науки нет ничего более революционного, чем развитие неевклидовых геометрий, которое до основания потрясло веру в то, что теория Евклида является вечной истиной.

Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен («Математика и воображение», 1941)

Все мы знаем множество геометрических понятий, потому что постоянно используем этот раздел математики в нашей повседневной жизни. Но эти понятия относятся к так называемой «классической», или «евклидовой», геометрии.

Однако существуют другие геометрии, которые устроены совсем не так, как нас учили в школе.

Эта книга не сделает вас специалистом в нетрадиционных геометриях, зато покажет, что реальность гораздо богаче, чем кажется на первый взгляд.

В этой книге описаны другие способы мышления и отношения к геометрии, способы, отличающиеся от тех, которые прочно укоренились в нашей повседневной жизни, и которые определяют наши действия в соответствии с евклидовой геометрией. Можно подумать, что новые геометрии понятны лишь великим ученым, но мы постараемся в последующих главах в наиболее ясной и понятной форме изложить их основы.

Возможно, самым простым способом открытия новых миров является попытка увидеть их проявления в более понятных и очевидных сферах нашей повседневной жизни. Таким образом, наше изложение начнется с короткого путешествия в «геометрию такси», которая основана на так называемом «расстоянии Минковского», отличающемся от расстояния в обычном понимании.

Как бы мы ни хотели улететь в дальние экзотические страны, для начала мы должны не терять землю под ногами. Нам придется обратиться к Евклиду, чтобы понять, как основные элементы геометрии используются в повседневной жизни.

Лишь тогда мы сможем перейти к обсуждению таких понятий, как «пятый постулат» и «проблема параллелей», из которых рождаются интересующие нас новые геометрии.

Лишь владея лучшими инструментами математической теории, мы можем вступить в мир новых геометрий. Сначала проведем разведку, чтобы узнать, как обстоят дела. Мы рассмотрим различные попытки доказательства пятого постулата. Ведь только в XVIII в. непоколебимое на протяжении столетий учение Евклида было наконец поставлено под сомнение самыми выдающимися математиками того времени.

Неудачные попытки доказать пятый постулат поставили под сомнение, казалось бы, неоспоримые основы традиционной геометрии. В это время и проявили себя одни из самых замечательных ученых в области математики. История альтернативных интерпретаций пятого постулата является в равной мере историей неудач и гениальных открытий.

С ней связаны самые известные в истории математики имена: Лобачевский, Бойяи, Гаусс, Риман… Мы более подробно рассмотрим удивительные результаты первой из новых геометрий — гиперболической геометрии Лобачевского и Бойяи.

Мы увидим, как она кардинально изменила наше понимание физической реальности и как она повлияла на исследования Альберта Эйнштейна и открытие им теории относительности.

Эллиптическая геометрия Римана перенесет нас в удивительный мир сфер, где у треугольников сумма внутренних углов больше 180°. Мы воспользуемся сферической геометрией, чтобы ответить на многие вопросы.

Что является кратчайшим расстоянием между двумя городами на поверхности Земли? Можно ли измерить внутренние углы треугольника, вершинами которого являются Париж, Лондон и Мадрид? Решения этих геометрических задач оказываются весьма полезными в нашем глобализованном мире, где GPS позволяет определить координаты любой точки нашей планеты.

Словно река, прорвавшая древнюю плотину, новые идеи смели традиционные научные понятия и породили сотни новых. Мы коснемся также геометрии XXI в. — интегральной и вычислительной геометрии, являющейся основой новых технологий.

Читатели, желающие поглубже изучить эти вопросы, найдут в конце книги список литературы. Алфавитный указатель позволит легко ориентироваться в тексте книги.

Нам часто приходится в повседневной жизни измерять предметы. Математическую дисциплину, изучающую такие задачи, древние греки называли геометрией. Это слово происходит от греческого geometrein, где geo означает «земля», a metrein — «измерять». Когда мы говорим о геометрии, мы всегда используем единственное число.

Казалось бы, множественное число — геометрии — подразумевает существование целого ряда возможных дисциплин на выбор. Такой подход звучит слишком заумно, эта идея находится за пределами понимания обычных людей. Тем не менее, так оно и есть: другие геометрии существуют.

Разве ученые абсолютно точно знают, что такое на самом деле точка в пространстве или прямая линия, проходящая через нее? Может ли круг иметь форму прямоугольника? Знаем ли мы, что означает «параллельность»?

Ответы на эти вопросы не являются вечными истинами, а меняются на протяжении времени.

Евклид с полной убежденностью утверждал, что «через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной», но Лобачевский показал, что можно провести много параллельных прямых, практически бесконечное число.

Риман был не согласен с обоими и считал, что параллельные прямые не существуют. Кто же из этих великих математиков прав? Может, все они правы?

Или они все ошибаются?

В данной главе мы как раз и разрешим все эти неопределенности, но, пожалуй, нам лучше начать с простого примера, который наглядно демонстрирует, почему возникает путаница относительно самой природы физической реальности.

Отправляясь из дома на работу или в другое место, мы вычисляем время, которое потребуется на дорогу, исходя из расстояния. Но часто оказывается, что расчеты не соответствуют реальному времени. Пробки, светофоры, дорожные работы — список таких задержек можно продолжать бесконечно. Все это, казалось бы, идет наперекор нашим тщательным планам.

Проблема заключается в том, что мысленно мы моделируем наше путешествие геометрически идеальным образом, представляя наш путь в виде почти прямой линии. Однако реальность вовсе не является геометрически идеальной.

Наши расчеты нарушают не только неисправные светофоры или разгружающие товары грузовики.

Дело еще и в том, что блоки городских зданий не образуют идеальных квадратов, а улицы не пересекаются под идеально прямыми углами… Означает ли это, что невозможно найти оптимальную дорогу, чтобы утром добраться до работы?

* * *

ИЛЬДЕФОНСО СЕРДА (1815–1876)

Известный главным образом как инженер и архитектор, Ильдефонсо Серда обладал многими талантами, занимаясь также экономикой, правом и политикой. Его реформа городского планирования в Барселоне в XIX в.

, получившая название «План Серда», изменила лицо города, в результате чего появился один из самых впечатляющих районов — Эшампле. По-каталонски (I’Eixample) или по-испански (el Ensanche) это означает «расширение».

Улицы Эшампле образуют прямоугольные кварталы, пересекаясь на равных расстояниях друг от друга.

Вид с воздуха на район Эшампле в Барселоне.

* * *

Заколдованные улицы

Как и следовало ожидать, реальность никогда не бывает геометрически идеальной, иначе бы мир был очень скучным, представляя из себя утомительные повторения упорядоченных форм.

Однако рациональность и упорядоченность являются важными критериями, которые необходимо учитывать на практике, например, в городском планировании. По вполне разумным причинам улицы многих современных городов образуют квадратные блоки.

Одним из первых примеров такого городского планирования был район Эшампле в испанском городе Барселоне, детище архитектора Ильдефонсо Серда. Этот район послужит идеальным вводным примером к нашей теме.

Представьте, что вы находитесь в районе Эшампле и хотите попасть из точки А в точку В. Если каждый городской квартал считать за единицу пути, то каким будет в этих единицах расстояние между точками А и В?

Глядя на этот рисунок, можно представить треугольник с гипотенузой (прямая линия между точками А и В) и двумя другими сторонами (вдоль улиц от одной точки к другой). Тогда длина одной стороны составит 4 единицы, а другой — 2.

Применяя теорему Пифагора (а2  = Ь2 + с2), мы можем найти длину гипотенузы: √(42 + 22) = √20 = 4,47 единиц. Если нам нужно рассчитать время в пути, то очевидно, что это расстояние обманчиво, потому что мы не можем передвигаться из одной точки в другую по прямой линии. Реальное расстояние будет суммой двух других сторон треугольника, то есть 6 единиц.

Источник: https://www.libfox.ru/566702-zhuan-gomes-mir-matematiki-t-4-kogda-pryamye-iskrivlyayutsya-neevklidovy-geometrii.html

Klein. Neelidova geometrija

Глава 4 Неевклидовы геометрии

ИНТЕРНЕТ БИБЛИОТЕКА

Каталог библиотеки

Пер. с немецкого Н.К.Брушлинского

М.–Л., ОНТИ, 1936 — 356 с.
5 000 экз.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.

ПЕРВАЯ ЧАСТЬ.
ВВЕДЕНИЕ В ПРОЕКТИВНУЮ ГЕОМЕТРИЮ.

Глава 1. Основы проективной геометрии.
§ 1. Аффинные, однородные и проективные координаты.
§ 2. Соотношения связности проективных образов; односторонность проективной плоскости.
§ 3.

Линейные однородные подстановки.
§ 4. Проективные преобразования.
§ 5. n-мерные многообразия.
§ 6. Проективные координаты прямой и проективные координаты плоскости; принцип двойственности.
§ 7.

Двойные отношения.
§ 8. Мнимые элементы.

Глава II. Образы второй степени.
§ 1. Полярные преобразования относительно образов второго порядка и класса.
§ 2. Соответствие между невырождающимися образами второго порядка и второго класса.
§ 3. Классификация образов второго порядка.
§ 4.

Классификация образов второго класса; связь с классификацией образов второго порядка.
§ 5. Прямые линии на невырождающвхся поверхностях второго порядка.
§ 6.

Превращения образов второй степени при непрерывном изменении коэфициентов; классификация этих образов.

Глава III. Проективные преобразования, переводящие образ второй степени самого в себя.
§ 1. Одномерный случай.
§ 2. Двумерный случай.
§ 3. Трехмерный случай.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ.

Глава IV. Внесение евклидовой метрики в проективную систему.
§ 1. Основные метрические формулы евклидовой геометрии.
§ 2. Исследование метрических формул; две круговые точки и шаровой круг.
§ 3.

Евклидова метрика как проективное отношение к фундаментальным образам.
§ 4. Замена круговых точек и шарового круга действительными образами.
§ 5.

Метрика в связке прямых и в связке плоскостей; сферическая и эллиптическая геометрии.

Глава V. Введение проективных координат, независимое от евклидовой геометрии.
§ 1. Построение четвертых гармонических элементов.
§ 2. Введение координат в одномерной области.
§ 3. Введение координат на плоскости и в пространстве.

Глава VI. Проективные мероопределения.
§ 1. Невырождающиеся мероопределения.
§ 2. Вырождающиеся мероопределения.
§ 3. Двойственность.
§ 4. Твердые преобразования.

Глава VII. Соотношения между эллиптической, евклидовой и гиперболической геометриями.
§ 1. Особое положение трех геометрий.
§ 2. Превращение эллиптической геометрии в евклидову и далее в гиперболическую геометрию.
§ 3.

Истолкование эллиптической и гиперболической геометрий как геометрий на евклидовой сфере действительного и мнимого радиусов.
§ 4. Вывод формул эллиптической и гиперболической геометрий из формул геометрии на евклидовой сфере.
§ 5. Сумма углов треугольника и его площадь.
§ 6.

Евклидова и обе неевклидовы геометрии как системы мероопре делений, применимых к внешнему миру.

Глава VIII. Специальное исследование обеих неевклидовых геометрий.
§ 1. Эллиптическая и гиперболическая геометрии на прямой линии.
§ 2. Эллиптическая геометрия плоскости.
§ 3.

Гиперболическая геометрия плоскости.
§ 4. Теория кривых второй степени в плоской неевклидовой геометрии.
§ 5. Эллиптическая геометрия пространства.
§ 6. Клиффордовы поверхности.
§ 7.

Гиперболическая геометрия пространства.

Глава IX. Проблема пространственных форм.
§ 1. Пространственные формы плоской евклидовой геометрии.
§ 2. Пространственные формы плоских эллиптической и гиперболической геометрий.
§ 3. Пространственные формы трехмерных геометрий.

ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ.
ОТНОШЕНИЯ НЕЕВКЛИДОВОИ ГЕОМЕТРИИ К ДРУГИМ ОБЛАСТЯМ.

Глава X. История неевклидовой геометрии; отношения к аксиоматике и к диференциальной геометрии.
§ 1.”Начала” Евклида и попытки доказательства аксиомы о параллельных.
§ 2. Аксиоматическое обоснование гиперболической геометрии.
§ 3. Основы теории поверхностей.
§ 4.

Связь плоской неевклидовой геометрии с теорией поверхностей.
§ 5. Расширение диференциально-геометрической точки зрения, произведенное Риманом.
§ 6. Конформные отображения неевклидовой плоскости.
§ 7. Внедрение проективной геометрии.
§ 8.

Дальнейшее построение неевклидовой геометрии, в частности диференциальной геометрии.

Глава XI. Обзор применений неевклидовой геометрии.
§ 1. Гиперболические движения пространства и плоскости и линейные подстановки комплексного переменного.
§ 2.

О применениях пространственной гиперболической геометрии к теории линейных подстановок.
§ 3. Автоморфные функции, униформизация и неевклидово мероопределение.
§ 4. Замечания о применении неевклидова мероопределения в топологии.
§ 5.

Приложения проективного мероопределения в специальной теории очносительности.

Предметный указатель. Скачать в формате Djvu 11.9 Mb

Источник: http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neeuclid.htm

Book for ucheba
Добавить комментарий