Математико-картографическое моделирование

geo.ru

Математико-картографическое моделирование

Предмет, сущность и задачи математико-картографического моделирования

Моделирование – одно из наиболее распространенных в науке понятий. Первоначально словом «модель» обозначалась уменьшенная копия, или, как выразился В. И. Даль, «образец в малом виде» [1]. В последующем в широком смысле под моделью стали понимать любой образ (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.

) какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала» данной модели), используемой в качестве его «заместителя», «представителя».

Моделирование же стало трактоваться как «одна из основных категорий теории познания: на идее моделирования по существу базируется метод научного исследования – как теоретический (при котором используются различного рода знаковые, абстрактные модели), так и экспериментальный (использующий предметные модели)» [2].

Новаковский Б. А. писал, что моделирование – это исследование объектов познания на их моделях. Моделирование предполагает построение и изучение моделей реально существующих предметов, явлений и конструируемых объектов:

– для определения или улучшения их характеристик;

– для рационализации способов их построения;

– для управления и прогнозирования.

Под «картографическим моделированием» понимается создание, анализ и преобразование картографических произведений — заместителей реальных объектов с целью использования их для приобретения новых знаний об этих объектах [3].

Математическая модель – это модель объекта, процесса или явления, представляющая собой математические закономерности, с помощью которых описаны основные характеристики моделируемого объекта, процесса или явления [4].

Математико-картографическое моделирование – это «построение и анализ математических моделей по данным, снятым с карты (карт), создание новых производных карт на основе математических моделей.

Для МКМ характерно системное сочетание математических и картографических моделей, при котором образуются цепочки и циклы: карта – математическая модель – новая карта – новая математическая модель и т.д.

» [5].

Процесс моделирования включает три элемента:

– субъект (исследователь),

– объект исследования,

– модель, определяющую (отражающую) отношения познающего субъекта и познаваемого объекта [6].

Первый этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала.

Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле.

Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал – формирование множества знаний. Одновременно происходит переход с «языка» модели на «язык» оригинала. Процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели.

Четвертый этап – практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым четырех этапным циклом может последовать второй, третий и т.д.

При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.

Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта или ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

Математико-картографическое моделирование позволяет нам рассчитывать значения какого-то показателя или явления на всей исследуемой территории на основе дискретно распределенных данных.

Для этого используются различные методы геостатистического анализа, в основе которого лежит интерполяция, экстраполяция, аппроксимация данных и различные способы картографического изображения, которые основаны на классификации данных.

Моделирование позволяет на основе разных факторов осуществлять комплексную оценку территории для ее пригодности под определенные поставленные задачи, проводить районирование, ранжирование и кластеризацию. Моделирование на основе разновременных данных позволяет нам оценить динамику развития какого-либо явления и дать качественный прогноз [4].

Методы моделирования. Классификации МК моделей

Следуя из определения математико-картографического моделирования можно предположить, что основными методами будут математические и географические.

«Суть математического моделирования заключается в абстрагированном и упрощенном отображении действительности логико-математическими формулами, передающими в концентрированном виде сведения о структуре, взаимосвязях и динамике исследуемых географических явлений» [7].

Эти модели очищены от ненужных деталей и лишних подробностей ради ясности характеристик важнейших свойств и закономерностей.

Абстрактность математической модели проявляется даже в характеристике конкретных свойств: в любой формуле указываются лишь величины тех или иных показателей, но не раскрывается их содержание.

Важной особенностью математических методов является невозможность их непосредственного использования для изучения действительности. Они применяются лишь в виде моделей, т.е.

в определенных формализованных абстракциях.

Математические модели способны хорошо отражать структуру, взаимосвязи и динамику наблюдаемых явлений, но надо неустанно следить за их соответствием свойствам моделируемой действительности.

Большое преимущество этих методов заключается в том, что в «основание» моделей можно закладывать еще не доказанные наукой представления; тогда результаты моделирования позволят судить о научной достоверности теоретических предпосылок и гипотез, об обоснованности интуитивных представлений.

Это свойство моделей может использоваться для предсказания новых географических закономерностей и прогнозирования развития явлений и процессов. Наконец, для улучшения результатов моделирования очень важна постоянная корректировка моделей посредством учета и контроля промежуточных данных.

С другой стороны, любая карта представляет собой математически строго определенную формализованную модель, построение которой производится по канонам математической картографии.

Хотя на карте моделируемая действительность, так же как и в математической модели, передается в условной знаковой форме, но карта обладает свойством, которое отличает ее от математической и любой другой модели, — она визуализирует территориальную конкретность.

Именно это свойство обусловливает образную наглядность картографических характеристик территории и объясняет многовековую традицию и разнообразие направлений использования карт в науке и практике. Карта не только абстрактная знаковая, но также аналоговая модель действительности.

Доказательством этому служат многообразие приемов передачи характеристики явлений посредством взаимозаменяемых способов картографического изображения, а также однозначность характеристики конкретных территориальных свойств географической действительности.

Согласно Новаковскому можно выделить три разновидности моделей: математические модели, строящиеся без учета пространственного координирования явлений, и результаты реализации которых, не подлежат картографированию; модели, в которых результаты картографируются, но пространственный аспект не учитывается на этапе реализации математических алгоритмов; модели, в которых без учета пространственного положения явления невозможно реализовать математические расчеты.

Наиболее часто применяемыми являются диффузионные (эмиссионные) модели рассеяния; моделирование поверхностей загрязнения; расчеты различных параметров цифровых моделей «рельефа»; методы многомерных классификаций; методы статистики.

Сочетание математических и картографических моделей может быть самым разнообразным и выражаться как в простых формах, так и в виде сложного многостадийного процесса. Последний строится как бы из элементарных, простейших моделей-звеньев.

В связи с этим были определены и классифицированы элементарные математико-картографические модели [7]. Схематично такая модель выражается следующим образом: данные + математическая модель = результат моделирования (прил. А).

Под словом «данные» могут пониматься сведения, снятые с карты, или результатом моделирования будет тематическое содержание карты.

Иными словами, либо на начальном этапе моделирования, либо на конечном или сразу на этих двух этапах должна присутствовать картографическая модель, в противном случае такое моделирование уже нельзя будет назвать математико-картографическим.

Математико-картографическая модель как бы синтезирует математический и картографический элементы вместе.

В связи с этим отпадает возможность классифицировать элементарные математико-картографические модели по типам применяемых в них карт или по математическому аппарату.

Такая классификация особенно заманчива, поскольку и в картографии и в математике уже существует их деление и соответственно классификации.

Ни картографическая, ни математическая компоненты по отдельности не определяют лицо МКМ.

Образно говоря, математический аппарат подобен мясорубке, которая лишь перекручивает, перерабатывает данные и представляет их в более удобном для анализа виде, вскрывает затушеванные закономерности и т.д.

, чаще всего фиксируемые на картах [7]. Основываясь на данных положениях, Тикунов разработал классификацию элементарных математико-картографических моделей.

А. Модели структуры явлений.

1. Модели структуры пространственных характеристик явлений.

2. Модели структуры содержательных характеристик явлений.

B.  Модели взаимосвязей явлений.

1. Модели взаимосвязей пространственных характеристик явлений.

2. Модели взаимосвязей содержательных характеристик явлений.

C.  Модели динамики распространения (развития) явлений.

1. Модели динамики пространственного распространения явлений.

2. Модели динамики содержательного развития явлений.

При многомерной группировке территориальных единиц по комплексу показателей в однородные группы (модели структуры); при моделировании соответствия распределения занятых в отраслях хозяйства по стране в целом и по единицам ее административного деления (модели взаимосвязей); при прогнозировании роста городов по данным за ряд предыдущих лет (модели динамики) сведения о пространственном положении географических явлений в процессе математического моделирования не учитываются. Ставится задача проанализировать структуру, взаимосвязи или динамику явлений любой территориальной единицы в сравнении с другими единицами, вне зависимости от того, где они расположены.

Однако зачастую результаты математического моделирования содержательных характеристик явлений наносятся на карту, что придает им пространственную определенность.

Это позволяет анализировать полученные результаты по отношению друг к другу в пространстве и дает им дополнительные преимущества перед другими формами представления результатов моделирования, например таблицами, списками, что также часто встречается в географии.

Взаимосвязь картографических и математических моделей, при которой недостатки одного вида моделей компенсируются преимуществами другого, делает МКМ наиболее эффективным, точным и наглядным способом отображения сложившейся действительности в моделируемом объекте, а также тенденций развития каких-либо процессов или явлений.

Конструирование элементарных и сложных МК моделей

Примером конструирования моделей пространственных характеристик явлений является понятие потенциала поля, заимствованное из физики.

По аналогии с формулой тяготения Ньютона, выражающей, как известно, взаимодействие двух тел через произведение их масс, деленное на квадрат расстояния между ними.

Сила взаимодействия двух населенных пунктов (которая может выражаться в обмене мигрантами, информацией, пассажиро- или грузопотоками, даже распространением некоторых видов инфекций и пр.) вычисляют по формуле:

При вычислении потенциала поля расселения не для всех точек территории, а лишь для населенных пунктов, можно пользоваться формулой:

Вторая разновидность – модели структуры содержательных характеристик явлений – в отличие от модели потенциала реализуется без привлечения пространственных координат. Рассмотрим, например, оценку общественного здоровья.

Такие индикаторы общественного здоровья, как ожидаемая продолжительность жизни мужчин и женщин, а также младенческая смертность, т.е. смертность детей в возрасте до 1 года на 1000 новорожденных, используются в большинстве стран мира, их применяет Всемирная организация здравоохранения.

Эти показатели дают представление о качестве здоровья в целом по стране, но и внутри стран существуют различные группы населения (социальные слои, территориальные общности, профессиональные группы), качество здоровья которых имеет значительные различия.

Поэтому на основе данных показателей производился расчет интегральной оценки и осуществлялось ранжирование 273 стран и регионов России. Получение интегральных оценок стран и регионов России приводит к выделению определенных групп [7].

Используя возможность комбинации отдельных звеньев – элементарных моделей в процессе поэтапного моделирования – можно решать задачи большой сложности поблочно, расчленяя их на частные задачи, не требующие применения сложных математических расчетов.

Когда разностороннее исследование невозможно реализовать с помощью элементарных моделей, возникает необходимость создания и практического применения комбинационной системы моделей – сложных математико-картографических моделей.

При этом процесс моделирования реализуется часто в интерактивном режиме.

Наиболее распространенным видом таких моделей стали цепочкообразные построения, в которых каждый новый элемент создается на основе результата реализации предыдущего элемента – элементарного звена.

Примером другой формы комплексирования моделей могут служить сетевые комбинации, когда на единой информационной базе параллельно реализуется ряд алгоритмов, из которых на завершающей стадии формируется один картографический результат.

Третий вид сложных моделей – древовидные комбинации, при которых на основе одной математической модели создается серия карт одной тематики.

Конструирование сложных древовидных моделей позволяет отображать явления в их многообразии, в чем проявляется одно из свойств этих моделей, что осуществляется через возможность многоплановости раскрытия сюжета на картах.

Получение серий карт сходной тематики на конечных стадиях моделирования особенно важно, так как именно эти карты, в отличие от рабочих, промежуточных, карт позволяют оценить точность всего процесса моделирования и представляют его результаты [8].

Оценка надежности моделирования

Любое моделирование непременно завершается оценкой надежности полученных результатов. Надежность зависит от всех этапов моделирования, начиная с анализа различных подходов при формулировке задачи и целей исследования, информационного обеспечения и методов моделирования, а также способов представления результатов моделирования [8].

Иными словами, в связи с большой сложностью географических явлений их моделирование можно будет считать действительно надежным, если подходить к нему комплексно: четко определив тип решаемой задачи, правильно дав оценку информационной обеспеченности и выбрав наиболее подходящий алгоритм моделирования, а в заключении дав оценку полученного результата.

Простейший, но достаточно эффективный подход – визуальное сравнение результатов моделирования на основе ряда алгоритмов и их содержательно-географический анализ.

Однако в некоторых случаях бывает не просто сформулировать критерии сравнения различных вариантов при моделировании географических явлений. Поэтому вполне возможно также обсуждать достоинство полученных результатов на уровне их логического анализа.

Например, предлагается использовать метод экспертных опенок – метод коллективного опыта.

Иногда возможно не только качественно, но и количественно оценить степень надежности того или иного алгоритма моделирования. Например, при вычислении углов наклона и экспозиции склонов оказалось возможным как бы на модельной полусфере «теоретически точно» вычислять углы наклона и экспозиции склонов и сравнивать их с результатами, которые дают разработанные алгоритмы.

Это позволяет подсчитывать среднеквадратические отклонения и суммы квадратов разностей между теоретически определенными углами и найденными с помощью разработанных алгоритмов и после этого выбрать лучший из них [8]. Визуальное сравнение карт углов наклона и экспозиций склонов, созданных на основе реализации разных алгоритмов, такой выбор наилучшего алгоритма для моделирования сделать не позволяет.

Возможна также методика предварительного опробования модели для получения результатов, которые известны заранее, с последующим ее применением для решения аналогичных задач.

Например, метод восстановления пропущенных данных Фишера, позволивший количественно сравнить условно недостающие и восстановленные данные, в дальнейшем использовался для заполнения пропусков в динамических рядах урожайности картофеля, когда проверить качество работы алгоритма уже сложно. Известны и другие пути оценки надежности моделирования, в частности математическое сравнение алгоритмов

Источник: http://geolike.ru/page/gl_3449.htm

Приемы математико-картографического моделирования

Математико-картографическое моделирование

Формализованное картографическое изображение хорошо при­способлено для математического анализа.

Как упоминалось выше, каждой точке карты с координатами х и у поставлено в соответ­ствие лишь одно значение картографируемого параметра I, что позволяет представить изображение данного явления как функ­цию т. = Р(х,у).

В других случаях картографическое изображение удобно представить как поле случайных величин и воспользовать­ся для его анализа вероятностно-статистическими методами.

В принципе почти все разделы математики применимы для обработки и анализа картографического изображения.

Проблема лишь в том, чтобы точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования.

Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторые разделы численного анализа, многомерной ста­тистики, теории вероятностей и теории информации.

Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложных или неизвестных функций другими, более простыми функциями, свойства которых известны. Любую слож­ную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приближенно представить в виде

г=/(х,у) + е,

где/(х, у) — некая аппроксимирующая функция, е — остаток, не поддающийся аппроксимации. Функцию /(х, у) можно далее раз­ложить в ряд, представив уравнение поверхности в виде

I =/,(*, У) +/2(х, у) + … +/„ (х, у) + е, где /х, у) — компоненты разложения, которые предстоит опреде-

лить. В общем случае для этого с аппроксимируемой карты снимают ряд значений г„ после чего составляют систему уравнений, решае­мых совместно по способу наименьших квадратов, т.е. так, чтобы 2е,2 = 2 [Г(хгу) -/(*,, у)У = тт.

Существуют разные способы аппроксимации. Это обычные ал­гебраические многочлены, ортогональные многочлены Чебышева и Лежандра, которые определенным образом упрощают вычисле­ния, сплайн-функции и др.

Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобы аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описывало исходную поверхность, а сумма квадратов от­клонений Ъ е.2 была бы минимальна.

На рис. 12.16 показано последовательное улучшение аппрок­симаций на примере несложных поверхностей.

Аппроксимация 1 -го порядка (линейное уравнение) дает плоскость, отражающую только общий уклон поверхности, это очень грубое, слишком общее приближение.

Поверхность 2-го порядка уже больше похо­жа на исходную модель, а аппроксимация 3-го порядка (кубичес­кое уравнение) дает достаточно хорошее приближение к исход­ной поверхности.

Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности, а сферические функции при­меняют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной зем­ной поверхности. Аппроксимация с помощью двойных рядов Фу­рье, представленная на рис 12.

17, иллюстрирует постепенное ус­ложнение поверхности за счет добавления двухмерных синусоид с разными фазами и амплитудами.

Компьютерное моделирование позволяет выполнять подобные аппроксимации для поверхностей любой сложности, вычисляя уравнения высокого порядка, содер­жащие порой несколько десятков членов разложения.

В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описания поверхностей (полей), изображенных на картах, и выполнения с ними различных действий: суммиро­вания, вычитания, интегрирования и дифференцирования, для подсчета объемов тел, ограниченных этими поверхностями, и ре­шения множества других задач. Одно из направлений использова­ния аппроксимаций — разложение поверхностей на составляю­щие, что позволяет выделять и анализировать нормальные и ано­мальные факторы развития и пространственного размещения явлений (см. разд. 13.2).

Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 231

Рис. 12.16. Аппроксимации поверхностей:

а — блок-диаграмма исходной поверхности; б, в, г — блок-диаграммы аппрок­симирующих поверхностей соответственно 1, 2 и 3-го порядков.

Рис. 12.17.Схема тригонометрической аппроксимации поверхности с по­мощью последовательного наложения двухмерных синусоидальных волн (по Дж. Дэвису).

Приемы математической статистики. Эта группа приемов мате­матико-картографического моделирования предназначена для изу­чения по картам пространственных и временных статистических совокупностей и образуемых ими статистических поверхностей.

Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 233

Рис. 12.18.Фрагмент карты рельефа (я) с сеткой точек регулярной вы­борки (выходы сетки отмечены на рамке), гистограмма и кривая рас­пределения высот (б): о — частость; А — высоты рельефа.

Статистический анализ картографического изображения пре­следует главным образом три цели:

♦ изучение характеристик и функций распределения явления;

♦ изучение формы и тесноты связей между явлениями;

♦ оценка степени влияния отдельных факторов на изучаемое явление и выделение ведущих факторов.

В основу всякого статистического исследования кладется вы­борка, т.е. некоторое подмножество однородных величин а., сня­тых с карты по регулярной сетке точек (систематическая выбор­ка), в случайно расположенных точках (случайная выборка), на ключевых участках (ключевая выборка) или по районам (райони­рованная выборка).

Выборочные данные группируют по интервалам, составляют гистограммы распределения (рис. 12.18) и затем вычисляют раз­личные статистики количественные показатели, характеризу­ющие пространственное распределение изучаемого явления. Наи­более употребительные показатели — среднее арифметическое, среднее взвешенное арифметическое, среднее квадратическое, дис-

Рис. 12.19.Карты явлений и поле корреляции.

А — карта испарения с суши (мм/год) для территории Республики Коми; В — карта средней годовой температуры воздуха (°С) для той же территории.

персия, вариация и др. Кроме того, с помощью специальных по­казателей (критериев согласия) можно оценить соответствие дан­ного конкретного распределения тому или иному теоретическому закону распределения. Например, установить, согласуется ли эм­пирическое распределение высот рельефа с кривой нормального распределения, как это видно на рис. 12.18, или подчиняется ка­кой-то иной функции.

Другая типичная исследовательская задача — оценка взаимо­связи между явлениями — решается с помощью хорошо разрабо­танного в математической статистике аппарата теории корреляции.

Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлени­ям, показанным на картах разной тематики (например, А и В). Значения а) и Ь, берут в одних и тех же 1-х точках, т.е.

строго скоор­динировано, и затем строят график поля корреляции (рис. 12.19).

Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии, то приступают к вычисле­нию коэффициента парной корреляции г. Его числовые значения заключены в интервале +1 > г > — 1.

При г равном +1 или —1 существует функциональная прямая или обратная связь. Если г близок к 0, то связь между явлениями отсутствует, а при г >|0,7| связь считается существенной.

Коэффициент корреляции рассчи­тывают по формуле

234 Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 235

2>,-лО(*,-лО

г =

“ЯР,,

где а1 и Ь1 — выборочные данные, полученные по картам А и В; п — объем выборки (число пар данных); Ман Мь — соответствую­щие значения средних, аоаио,- средних квадратических.

Оценку точности вычисления коэффициента корреляции г

\-г

получают по формуле Щ – —г=- , из которой видно, что при

Ып

прочих равных условиях погрешность вычисления коэффициента корреляции всегда уменьшается с увеличением объема выборки. Отсюда следует, что определение объема выборки — важная про­блема при расчете коэффициента корреляции, да и вообще при вычислении всех статистических показателей. Достаточно предста­вительной обычно считается выборка объемом 30-50 значений.

В практике исследования взаимосвязей часто необходимо по­лучить предварительную приближенную оценку коэффициента корреляции.

В простых случаях это можно сделать, используя пред­ставление остатистических поверхностях.

Доказано, что коэффи­циент корреляции примерно равен косинусу угла а между направ­лениями наибольших скатов (градиентов) двух сравниваемых ста­тистических поверхностей

г ~ сов а.

Значения заключены в интервале соз 0° >г>соз 180°. Если а = 0°, что свидетельствует о полном совпадении направлений скатов по­верхностей, то г = соз 0° = 1, т.е. между явлениями существует

Рис. 12.20. Приближенное определение коэффициента корреляции по ко­синусу угла между направлениями наибольших скатов статистичес­ких поверхностей.

а — изотермы июля в Кировской области; 6 — изолинии дат начала цветения луговых трав.

прямая связь. При а = 180° скаты поверхностей направлены в про­тивоположные стороны, и г = соз 180° = — 1, следовательно, связь высока, но отрицательна, а при а = 90° связь между явлениями отсутствует, поскольку г = соз 90° = 0.

На рис. 12.20 представлены две статистические поверхности и показаны направления их наи­больших скатов. Угол между ними оказался равен 36°, тогда г — = соз 36° = +0,81.

Такие приближенные вычисления особенно удоб­ны при сравнении изолинейных карт.

Для оценки взаимосвязи явлений в случаях, когда трудно или невозможно получить большие выборки, используют другой по­казатель — ранговый коэффициент корреляции у, который вычис­ляют по формуле

■» – 1 и]

236 Глава XII. Методы использования карт

Приемы математико-картографического моделирования 237

где рщ и рь. — ранги значений, полученных соответственно по кар­там А и В, т.е. их порядковые номера в возрастающей последова­тельности (1, 2, 3 и т.д.), а я — объем выборки.

По смыслу у аналогичен коэффициенту парной корреляции г, он изменяется в интервале от —1 до +1. При этом не требуется больших объемов выборки, расчеты можно выполнять даже при п = 3.

К тому же не нужны точные количественные значения о,, и />,., достаточно знать их ранги.

Все это удобно для работы с картог­раммами, где используются интервальные шкалы, а объем выбор­ки ограничен числом административных районов.

Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен, в нем есть показатели, удобные для анализа взаимосвязей по картам аре­алов (где явления характеризуются только двумя состояниями: «есть» и «нет»), по картам качественного фона (где каждое явле­ние имеет много состояний, но не охарактеризовано количествен­но). Существуют коэффициенты для расчета криволинейных зави­симостей и связей между тремя явлениями (коэффициенты мно­жественной корреляции) и т.п.

Расчет корреляций дает основу для более сложных видов ана­лиза: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача выделить основные факторы, опре­деляющие развитие и размещение того или иного явления.

Эту задачу решает многомерный факторный анализ. Он позволяет све­сти к минимуму (к трем-четырем главным факторам) большие совокупности исходных показателей, характеризующих сложное явление.

Уравнение факторного анализа имеет вид

л

ар =Ъ1рг/г+ер

г = 1

где а — исходные показатели; /г — выделенные главные факторы, дающие синтетическую оценку изучаемого явления; 1рг — «вес» каждого фактора в этой синтетической оценке («факторная на­грузка»); е — остаток, характеризующий неучтенные отклонения.

Приемы теории информации. Эти приемы используют для оцен­ки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изу­чаемых по картам.

Речь идет об основной функции теории информации — энтро­пии. Втермодинамике энтропия характеризует степень беспорядка в физической системе, в теории связи — степень неопределенности

передаваемых сообщений, а в картографическом анализе эта функ­ция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности/ неоднородности (разнообразия) картографического изображения.

Энтропией Е (А) некоторой системы А называется сумма про­изведений вероятностей со. различных состояний этой системы на логарифмы вероятностей, взятая с обратным знаком

п

Е(А) = Е(щ, со2,…, со,,)=- X со,1о§ 2 СО;

1=1

В теории информации принято брать логарифмы вероятностей при основании 2, что связано с двоичной системой счисления. Смысл функции не изменится, если пользоваться десятичными или натуральными логарифмами. Функция Е(А) остается неотри­цательной, она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или выдел (т.е.

изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Это свой­ство функции энтропии позволяет количественно характеризовать неоднородность картографического изображения (рис. 12.21), по­нимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их рас­пространения по площади (различие величин со,).

Кроме того, информационные функции используют для оценки степени взаимного соответствия (совпадения) контуров на разных картах. В этом случае они выполняют роль своеобразных показателей взаимосвязи явлений наподобие коэффициентов корреляции.

гМ.) < Е(А,) < Е(А3) < г(*,).т„

Рис. 12.21.Увеличение энтропии Е(А) с возрастанием числа контуров на карте (а) и изменением соотношения их площадей (б).

Изучение структуры 239

Глава XIII

Источник: https://studopedia.su/18_29776_priemi-matematiko-kartograficheskogo-modelirovaniya.html

Тикунов В. С. Геоинформатика. Математико-картографическое моделирование (МКМ). Элементарные математико-картографические модели

Математико-картографическое моделирование

Скачать полную версию учебника (с рисунками, формулами, картами, схемами и таблицами) одним файлом в формате MS Office Word

Математико-картографическое моделирование (МКМ) сформировалось из многочисленных отдельных экспериментов по применению математических методов в тематической картографии в начале 70-х годов XX в. [В.Т.Жуков, С.Н.Сербенюк, В.С.Тикунов, 1973; 1980].

Под математико-картографическим моделированием понимается органическое комплексирование математических и картографических моделей в системе «создание — использование карт» для конструирования или анализа тематического содержания карт.

Математико-картографические модели могут быть элементарными, выражающимися следующим образом:

исходные данные + математическая модель = результат моделирования.

Под словом «данные» могут пониматься сведения, считанные с карты, или результатом моделирования будет тематическое содержание карты.

Иными словами, либо на начальном этапе моделирования, либо на конечном, или сразу на этих двух этапах должна присутствовать картографическая модель, в противном случае такое моделирование уже нельзя будет назвать математико-картографическим.

Прежде всего несколько слов следует сказать о составных компонентах математико-картографического моделирования — картографических и математических моделях. Что касается карты, то она представляет собой математически строго определенную формализованную модель, построение которой производится по канонам математической картографии.

Моделируемая действительность на карте, как и в математической модели, передается в условной знаковой форме, но карта обладает свойством, отличающим ее от математической и любой другой модели, она визуализирует территориальную конкретность.

Именно это свойство обусловливает образную наглядность картографических характеристик территории и объясняет многовековую традицию и разнообразие направлений использования карт в науке и на практике. Карта не только абстрактная знаковая, но также аналоговая модель действительности.

Доказательством тому служат многообразие приемов передачи характеристики явлений посредством взаимозаменяемых способов картографического изображения, а также однозначность характеристики конкретных территориальных свойств географической действительности.

Несмотря на различия математической и картографической моделей именно математика послужила одной из важных причин возникновения и развития таких способов изображения, как картограмма или картодиаграмма, точечный или изолиний.

Не являются редкостью и приемы математической статистики, издавна используемые в картосоставительской практике при проведении отбора объектов картографирования, построении шкал по количественным признакам, обобщении статистических данных и т. п.

Новым для картографии явился углубляющийся процесс внедрения математических методов в формирование тематики и содержания карт, приводящий к более глубокой перестройке методики их создания [В.Т.Жуков, С.Н.Сербенюк, В.С.Тикунов, 1980].

Все это позволяет говорить о возможности органического комплексирования математических и картографических моделей и нецелесообразности их противопоставления, хотя в литературе можно встретить утверждение о превосходстве одной формы моделирования над Другой как в одну, так и другую сторону [Геология…, 1967; Л.Л.Ягодина, 1973, В.А.Анучин, 1982 и др.].

В качестве объектов для критики чаще всего используются примеры математического описания пространственных явлений, не имеющих даже сколь-либо глубоко разработанных логических определений. Но ведь совершенно недопустимо математическими формулами описывать то, что еще логически не осмыслено и не представлено в виде, пригодном для математического описания.

Критика картографической составляющей направлена на то, что она менее точно по сравнению с математическими моделями описывает явления и др. Обе отмеченные взаимоисключающие позиции имеют определенную почву под собой.

Прежде всего этому способствовали ряд достигнутых успехов на пути математизации, внедрение этих разработок в практику, широкое распространение компьютеров и другие причины, а также упрощенное описание сложных пространственно распределенных явлений без достаточного понимания их сути, применение математических алгоритмов без учета накладываемых ими ограничений, игнорирование методов, традиционных для наук о Земле, и т.д. Иногда требовалось просто невозможное как, например, решение задачи всесторонней математической имитации сложных комплексов с учетом большого числа взаимосвязей между отдельными их компонентами и т.п. Стоит ли в этих случаях применять модели? Нет. Явление во всем его многообразии лучше изучать в натуре, чем на модели. Модель ведет к упрощениям (в разумных рамках), позволяет выявить главные типичные черты, а тем самым дает и новое знание о явлении — и в этом ее сила. Любому моделированию свойственны формалистичность построений и стремление использовать ее сильные стороны. Не подмена одних методов другими, а их взаимное дополнение с учетом сильных сторон математического и картографического методов — наиболее рациональный путь. Сочетание математических и картографических моделей может быть самым разнообразным и выражаться как в простых формах, так и в виде сложного многостадийного процесса. Последний строится как бы из этих моделей-звеньев, которые могут быть классифицированы [В.С.Тикунов, 1979]. Математико-картографическая модель как бы синтезирует математический и картографический элементы вместе. В связи с этим отпадает необходимость классифицировать элементарные математико-картографические модели по типам применяемых в них карт или по математическому аппарату.

Такая классификация особенно интересна, поскольку и в картографии, и в математике уже существуют их деление и соответственно классификации.

В нашем случае ни картографическая, ни математическая компоненты по отдельности не определяют вид МКМ.

Образно говоря, математический аппарат подобен мясорубке, которая лишь перекручивает, перерабатывает данные и представляет их в более удобном для анализа виде, вскрывает затушеванные закономерности и т.д., чаще всего фиксируемые на картах.

Основываясь на данных положениях, была разработана классификация элементарных математико-картографических моделей. A. Модели структуры явлений. I. Модели структуры пространственных характеристик явлений. II. Модели структуры содержательных характеристик явлений. B.

Модели взаимосвязей явлений. I. Модели взаимосвязей пространственных характеристик явлений. II. Модели взаимосвязей содержательных характеристик явлений. C. Модели динамики распространения (развития) явлений. I. Модели динамики пространственного распространения явлений.

II. Модели динамики содержательного развития явлений.

Несмотря на различие моделей пространственных и содержательных характеристик, здесь нет разрыва диалектического единства пространства и содержания, но в одном случае на первый план больше выступает первое свойство, а в другом — второе. Обратимся к конкретным примерам конструирования элементарных моделей.

Это позволяет уяснить необходимость подразделения моделей структуры, взаимосвязей и динамики на два подвида.

Например, создание моделей потенциала поля расселения, равномерности размещения населенных пунктов, аппроксимации статистических поверхностей (модели структуры); модели согласованности контуров объектов между собой, корреляции пространственного варьирования характеристик двух явлений (модели взаимосвязей); модели пространственного распространения эпидемий или диффузии загрязнения, миграций населения (модели динамики) невозможно осуществить без учета в процессе математической формализации пространственного аспекта, без привлечения пространственных координат, фиксирующих положение явлений. Необходимость использования пространственных координат явлений заложена в строении данных алгоритмов.
С другой стороны, при многомерной группировке территориальных единиц по комплексу показателей в однородные группы (модели структуры); при моделировании соответствия распределения занятых в отраслях хозяйства по стране в целом и по единицам ее административного деления (модели взаимосвязей); при прогнозировании роста городов по данным за ряд предыдущих лет (модели динамики) сведения о пространственном положении явлений в процессе математического моделирования не учитываются. Ставится задача проанализировать структуру, взаимосвязи или динамику явлений любой территориальной единицы по сравнению с другими, вне зависимости от того, где они расположены. Однако зачастую результаты математического моделирования содержательных характеристик явлений наносятся на карту, что придает им пространственную определенность. Это позволяет анализировать полученные результаты по отношению друг к другу в пространстве и дает им дополнительные преимущества перед другими формами представления результатов моделирования, например таблицами, списками, что также часто встречается в географии и экологии. Примеры конструирования элементарных моделей всех пунктов приведенной классификации представлены в работе [В.С.Тикунов, 1985; 1997].

Скачать полную версию учебника (с рисунками, формулами, картами, схемами и таблицами) одним файлом в формате MS Office Word

При копировании информации обязательны прямые ссылки на сайт, а также на авторов книг. Все книги являются собственностью их авторов и служат исключительно для ознакомления.

© Edu-Knigi.ru, 2011. © Дизайн и программирование от студии “ПСГ”.

Источник: https://edu-knigi.ru/tikunov/geoinformatika.php?id=58

Экзаменационный билет №_14

Математико-картографическое моделирование

Модели́рование— исследованиеобъектов познания на их моделях;построение и изучение моделей реальносуществующих объектов, процессов илиявлений с целью получения объясненийэтих явлений, а также для предсказанияявлений, интересующих исследователя.

Математико-картографическое моделирование

Математико-картографическоемоделирование (МКМ) сформировалось измногочисленных отдельных экспериментовпо применению математических методовв тематической картографии вначале70-х годов.

Подматематико-картографическим моделированиемпонимается органическое комплексированиематематических и картографическихмоделей в системе «создание — использованиекарт» для конструирования или анализатематического содержания карт.

Математико-картографические моделимогут быть элементарными, выражающимисяследующим образом: исходные данные +математическая модель = результатмоделирования. Под словом «данные»могут пониматься сведения, считанныес карты, или результатом моделированиябудет тематическое содержание карты.

Иными словами, либо на начальном этапемоделирования, либо на конечном, илисразу на этих двух этапах должнаприсутствовать картографическая модель,в противном случае такое моделированиеуже нельзя будет назватьматематико-картографическим (231 стр.Тикунов).

Математическаямодель- это модель объекта, процесса илиявления, представляющая собойматематические закономерности, с помощьюкоторых описаны основные характеристикимоделируемого объекта, процесса илиявления.

Математико-картографическоемоделирование– это «построение и анализ математическихмоделей по данным, снятым с карты (карт),создание новых производных карт наоснове математических моделей. Для МКМхарактерно системное сочетаниематематических и картографическихмоделей, при котором образуются цепочкии циклы: карта – математическая модель- новая карта – новая математическаямодель и т.д.».

Процессмоделирования включает три элемента:

-субъект (исследователь),

-объект исследования,

-модель, определяющую (отражающую)отношения познающего субъекта ипознаваемого объекта

Виды моделирования

Всилу многозначности понятия «модель»в науке и технике не существует единойклассификации видов моделирования:классификацию можно проводить похарактеру моделей, по характерумоделируемых объектов, по сферамприложения моделирования (в технике,физических науках, кибернетике и т. д.).Например, можно выделить следующие видымоделирования:

Информационноемоделирование

Компьютерноемоделирование

Математическоемоделирование

Математико-картографическоемоделирование

Молекулярноемоделирование

Цифровоемоделирование Логическое моделирование

Педагогическоемоделирование

Психологическоемоделирование

Статистическоемоделирование

Структурноемоделирование

Физическоемоделирование

Экономико-математическоемоделирование

Имитационноемоделирование

Эволюционноемоделирование

ИНФОРМАЦИОННОЕВ своей деятельности человек повсеместноиспользует модели, то есть создаетобраз, копию того объекта, с которым емуприходится иметь дело. Продумывая пландействий, представляя результат своихдействий, человек строит модель науровне мысли.

Модель – это искусственносозданный объект, дающий упрощенноепредставление о реальном объекте,процессе или явлении, отражающийсущественные стороны изучаемого объектас точки зрения цели моделирования.Моделирование- это построение моделей, предназначенныхдля изучения и исследования объектов,процессов или явлений.

Объект, для которого создается модель,называют оригиналом или прототипом.Любая модель не является абсолютнойкопией своего оригинала, она лишьотражает некоторые его качества исвойства, наиболее существенные длявыбранной цели исследования. При созданиимодели всегда присутствуют определенныедопущения и гипотезы.

Системный подходпозволяет создавать полноценные модели.Особенности системного подходазаключаются в следующем. Изучаемыйобъект рассматривается как система,описание и исследование элементовкоторой не выступает как сама цель, авыполняется с учетом их места (наличиеподзадач). В целом объект не отделяетсяот условий его существования ифункционирования.

Объект рассматриваетсякак составная часть чего-то целого (самявляется подзадачей). Один и тот жеисследуемый элемент рассматриваетсякак обладающий разными характеристиками,функциями и даже принципами построения.

При системном подходе на первое местовыступают не только причинные объясненияфункционирования объекта, но ицелесообразность включения его в составдругих элементов. Допускается возможностьналичия у объекта множества индивидуальныххарактеристик и степеней свободы.Альтернативы решения задач сравниваютсяв первую очередь по критерию”стоимость-эффективность”.

КОМПЬЮТЕРНОЕСоздание универсальных моделей – этоследствие использование системногоподхода. Моделирование (эксперимент)может быть незаменимо.

Мы не можем,например, устроить ядерную катастрофу,чтобы выяснить масштабы возможногозаражения, а с помощью компьютеравозможен расчет (и достаточно точный)интересующих исследователей параметров.

Моделирование – исследование явлений,процессов или систем объектов путемпостроения и изучения их моделей – этоосновной способ научного познания. Винформатике данный способ называетсявычислительный эксперимент и основываетсяон на трех основных понятиях: модель -алгоритм – программа.

Использованиекомпьютера при моделировании возможнопо трем направлениям: 1. Вычислительное- прямые расчеты по программе. 2.Инструментальное – построение базызнаний, для преобразования ее в алгоритми программу. 3. Диалоговое – поддержаниеинтерфейса между исследователем икомпьютером.

ФИЗИЧЕСКОЕМетод экспериментального изученияразличных физических явлений, основанныйна их физическом подобии.

Метод применяетсяпри следующих условиях: Исчерпывающеточного математического описанияявления на данном уровне развития наукине существует, или такое описание слишкомгромоздко и требует для расчётов большогообъёма исходных данных, получениекоторых затруднительно.

Воспроизведениеисследуемого физического явления вцелях эксперимента в реальных масштабахневозможно, нежелательно, или слишкомдорогостояще. (Например, цунами) Некоторыепримеры применения метода физическогомоделирования: Исследование теченийгазов и обтекания летательных аппаратов,автомобилей, и т.п. в аэродинамическихтрубах.

Гидродинамические исследованияна уменьшенных моделях кораблей,гидротехнических сооружений и т.п.Исследование сейсмоустойчивости зданийи сооружений на этапе проектирования.Изучение устойчивости сложных конструкций,под воздействием сложных силовыхнагрузок. Измерение тепловых потокови рассеивания тепла в устройствах исистемах, работающих в условиях большихтепловых нагрузок. Изучение стихийныхявлений и их последствий.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ Это модель, созданная с помощьюматематических понятий. Математическоемоделирование — процесс построения иизучения математических моделей. Всеестественные и общественные науки,использующие математический аппарат,по сути занимаются математическиммоделированием: заменяют реальныйобъект его моделью и затем изучаютпоследнюю.

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕРазработкаи создание формальной модели педагогическогопроцесса или его составляющих, отражающейосновные идеи, методы, формы, средства,приемы и технологические решения,которые подлежат в дальнейшемэкспериментальному изучению в условияхреального педагогического процесса.

Источник: https://studfile.net/preview/3821488/

Book for ucheba
Добавить комментарий