Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями – PDF Free Download

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

1 Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями Понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве статей ГК РФ и т.п.

Множества будем обозначать прописными латинскими буквами:,, Если элемент x принадлежит множеству, то пишут x, в противном случае пишут элемента, называют пустым, его обозначают символом Ø. x.

Множество, не содержащее ни одного Множество считается заданным, если о любом данном объекте можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

Существует два способа задания множества: – дается полный перечень элементов множества; например, множество результатов ания присяжного за, против, воздержался}; – указывается правило определения принадлежности любого объекта к рассматриваемому множеству; например, запись = x : x < 0} означает, что состоит из таких x, модуль которых меньше 0. Назовем мощностью множества А количество элементов этого множества. Будем обозначать мощность множества А следующим образом: m(). Два множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества и равны, то пишут множества =,,3} и =3,, } равны, то есть =. Например, заданные перечнем элементов = или,,3} = 3,,}. Если каждый элемент множества является в то же время элементом множества, то говорят, что часть, или, иначе подмножество множества. В этом случае пишут. буквой В последующем исходное множество будем называть универсальным и обозначать (прописная греческая буква «омега»). Собственные подмножества множества - это те подмножества, которые содержат некоторые, но не все элементы. Наряду с собственными подмножествами условимся само множество также считать подмножествами множества. ω и пустое множество Ø На базе множества = ω, ω } можно образовать = 4 подмножества: ω }, },, Ø, из которых = собственных это ω }, }. ω НА базе множества = ω, ω, } можно образовать 3 = 8 подмножеств: ω3 ω }, ω }, ω }, ω, ω }, ω, ω }, ω, },, Ø, из которых 3 = 6 собственных. На базе 3, 3 ω3

2 N подмножества, содержащего N элементов, можно образовать подмножеств, из которых N собственных. Выше было рассмотрены способы, которыми из данных высказываний можно обрадовать новые высказывания.

Рассмотрим аналогичный процесс образования новых множеств из данных множеств и, при этом будем предполагать, что и, и, и вновь образованное множество являются подмножествами некоторого универсального множества.

Для наглядного представления операций над множествами используем диаграмму Венна, на которой универсальное множество изображается прямоугольником, а его подмножества и некоторыми фигурами, чаще кругами, внутри прямоугольника.

Пересечением множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и одновременно. Если и не имеют общих элементов, то пересечение будет пустым множеством Ø, то есть =Ø.

Объединением множеств и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат или (или и одновременно, если такие есть). Легко доказать, что m( ) ) ) ). Дополнением множества называется множество (читают «не»), состоящее из тех и только тех элементов множества, которые не принадлежат. Операция дополнения симметрична: если – дополнение, то и дополнение. Поэтому и называют взаимодополняющими множествами, то есть = и m ( ) ) ).

3 Разностью множеств и называется множество \ (читают без ) всех тех элементов, которые не принадлежат. Нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений: \= Если у и нет общих элементов, то есть Если подмножество множества, то есть Пример. =Ø, то \=., то \=Ø.

В группе из 00 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 3 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка? туристов, Решение задачи: Обозначим: универсальное множество, т.е.

множество всех А множество туристов, знающих английский язык, множество туристов, знающих французский язык. Необходимо найти количество туристов, не знающих ни одного языка, т.е. количество элементов множества = \ ( ) (на рисунке заштриховано). Дано (по условию): m ( ) = 00 (чел.) m ( ) = 70 (чел.

) m ( ) = 45 (чел.) m ( ) = 3 (чел.) Найти: m( ) ) ). Находим количество туристов, знающих хотя бы один язык: А

4 m ( ) ) ) ) = = 9, тогда количество туристов, не знающих ни одного языка: m ( ) ) ) = 00 9 = 8 (чел.) Пример. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексике, один по страноведению и один по стилистике.

Результаты проверки ответов представлены в таблице: Получены правильные ответы на вопросы Количество ответивших По лексике 0 По страноведению 8 По стилистике 8 По лексике и страноведению 7 По лексике и стилистике 8 По страноведению и стилистике 9 Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос.

Сколько студентов правильно ответило на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответило ровно на два вопроса? Решение задачи: Обозначим: T Y универсальное множество, т.е.

множество Z всех студентов, множество студентов, правильно ответивших D на вопросы по лексикологии, множество студентов, правильно ответивших на вопросы по страноведению, С множество студентов, правильно ответивших на вопросы по стилистике, D – множество студентов, не давших ни одного правильного ответа. Дано (по условию): m( ) = 40 (чел.), m ( D) = 3 (чел.

) m ( ) = 0 (чел.), m ( ) = 7 (чел.) m ( ) = 8 (чел.), m ( ) = 8 (чел.) m ( ) = 8 (чел.), m ( ) = 9 (чел.) Найти: ) m ( ) =? ) сколько студентов ответило ровно на вопроса? Пересечение трех множеств разбивает универсальное множество на классы, т.е. на попарно непересекающиеся непустые подмножества. Можно проверить (и доказать!), что

5 m( ) ) ) ) ) ) ) ). Очевидно, что m ( ) ) D) = 40 3 = 37. Отсюда: 37 = ). Тогда m( ) = 5. Итак, на три вопроса ответили 5 студентов Чтобы найти количество студентов, правильно ответивших ровно на два вопроса, необходимо найти и сложить m ( ), m (Y ), m(z) : m ( ) ) ) = 7 5 =. m ( Y) ) ) = 9 5 = 4. m ( ) ) ) = 8 5 = 3. m ( ) Y) Z) = = 9 человек.

В качестве приложения введенных понятий рассмотрим задачу «голосующие коалиции». Пусть имеется группа людей, голосующих «за» или «против» проведения какой-то меры (возможность «воздержания» исключается). Каждый член группы может иметь один или несколько . Решение группы принимается согласно какому-либо правилу: или простым большинством, или /3 от общего числа и т.д.

Некоторые члены группы могут объединяться в коалицию с целью проведения названной меры. Коалицию называют выигрывающей, если ее достаточно для проведения меры; проигрывающей, если члены, не вошедшие в коалицию, могут провести свое решение вопреки желанию коалиции.

Коалицию называют блокирующей, если ее члены сами по себе, как и члены, не вошедшие в коалицию, не могут провести никакого решения. и x x Например, комитет состоит из трех членов: (председатель), имеющий два голоса, и, имеющие по одному голосу каждый. Исход решается простым большинством .

Возможные варианты ания трех членов комитета указаны в следующей таблице: варианта x x За универсальное множество примем множество,, } всех членов комитета в предположении, что каждый из них высказывается «за». Тогда, например, подмножество

6 , x } означает, что и проали «за», а x – «против» (то есть имеет место x второй вариант ания), а пустое множество Ø означает, что все члены комиссии проали «против» (8-й вариант ания). Количество подмножеств множества, включая и Ø, равно 3 = 8 / из которых 6 собственных (варианты -7).

Так как решение «за» принимается в, и 3 вариантах ания, а решение «против» в 8, 7 и 6 вариантах, то выигрывающими коалициями являются множества =, x, x },. x },, x }, а проигрывающими: Ø, x }, x }. Обратим внимание на следующее: если множество коалиция С является выигрывающей (проигрывающей), то дополнение множества проигрывающая (выигрывающая) коалиция.

Для подтверждения приведем такую таблицу: Выигрывающая коалиция (множество С) Проигрывающая коалиция (множество =\С) =, x, x } = Ø =, x} = x } =, x} = x } Среди выигрывающих коалиций выделяют минимально выигрывающие (в задаче это коалиции. x } и, x }).

Минимальная выигрывающая коалиция эта такая выигрывающая коалиция, ни одно из собственных подмножеств которой не является выигрывающей коалицией. Выигрывающая коалиция – минимальная, так как ни одно из ее собственных подмножеств: } и x }, не является выигрывающей коалицией; тоже относится и к коалиции, x }.

, x } В 4-м и 5-м вариантах решение принято не будет (нет большинства); поэтому коалиция } и коалиция x, x } – блокирующие. Обратим внимание на то, что сумма числе выигрывающих, проигрывающих и блокирующих коалиций равна числу подмножеств множества. Пример.

Интересным примером группы, принимающей решения, служит Совет безопасности ООН, состоящий при существовании СССР из одиннадцати членов: пяти представителей великих держав (,,, ), каждый из которых мог единолично блокировать 5 любую меру, и шести представителей малых наций (,, x ). Каждый из членов x 6 имел один голос (возможность «воздержания» исключим). Для принятия Советом какойто меры необходимо, чтобы за нее проало семь членов, включая «большую

7 пятерку». За универсальное множество примем множество членов Совета в предположении, что каждый из них высказался «за».

Общее число вариантов ания -ти членов равно множество всех – столько подмножеств имеет «большой пятерки» и двух или более (не менее двух) представителей малых наций, будет выигрывающей коалицией; а любое подмножество, состоящее из четырех или менее (не более четырех( представителей малых наций будет проигрывающей коалицией.

Примеры этих коалиций приведены в следующей таблице: = 048,,…, x,…, x6} =,,…, x,…, x6}. Любое подмножество этого множества, состоящее из Выигрывающая коалиция Проигрывающая коалиция (множество =\С) =,…,, x, } = x, x, x, } 5 x x6 =,…, 5, x, x, x3} = x, x, } =,…, 5, x, x, x3, x4} =,…, 5, x, x, x3, x4, x5} =,,…, x,…

, x6} = 4 5 x6 6 x 5, x } = x 6 } = Ø Общее число выигрывающих коалиций равно 57 (столько же и проигрывающих коалиций), из которых 5 будут минимальными это коалиции, состоящие из «большой пятерки» и двух представителей малых наций. Число блокирующих коалиций равно = 934, среди них и единичные множества },, }.

Между множествами и высказываниями, а также между операциями над множествами и операциями, связывающими простые высказывания в составные, существует тесная связь.

Единственный способ сопоставления высказываний с множествами такой: для имеющихся высказываний a, b, c, находим множество всех логических возможностей универсальное множество; на множестве выделяем подмножества,,, логических возможностей, для которых истинны соответственно высказывания a, b, c, ;,,, называют множествами истинности соответствующих высказываний; каждому высказыванию поставим в соответствие его множество истинности. Единственный способ сопоставления операций связывания высказываний и операций над множествами такой: 5

8 множество истинности высказывания a b – это множество ; множество истинности высказывания a + b – это множество ; множество истинности высказывания a (иначе, множество «ложности» высказывания a) это множество ; множество истинности высказывания a b – множество множество и тинности высказывания a b или \ \ ; = \ ; – это множество ( ) ( ) с множество истинности логически истинного высказывания это множество всех логических возможностей; множество истинности логически ложного высказывания пустое множество Ø. Выявленные соотношения позволяют перевести любую задачу, относящуюся к высказываниям, в задачу теории множеств, и наоборот, задачу, относящуюся к множествам, перевести на язык высказываний. Пример. Пусть требуется выяснить, совместимы или нет следующие высказывания:. Если математика интересна (a), то я буду над ней работать (b).. Если математика не интересна (a ), то я получу по этому предмету плохую оценку (c). 3. Я не буду работать над математикой (b ), но получу по этому предмету хорошую оценку ( c ). В принятых обозначениях символьные выражения высказываний таковы:. a b. a c 3. b c Решим задачу двумя способами. Язык множеств. Перейдем от высказываний к множествам истинности:. a b Высказывание Множество истинности \. a c \ 3. b c Множества истинности изобразим на диаграммах Венна:

9 .. 3.

Из диаграмм видно: нет элементов множества логических возможностей, которые бы принадлежали одновременно всем трем множествам истинности, иначе нет ни одной логической возможности для одновременной истинности высказываний,, 3, поэтому эти высказывания несовместимы в совокупности; однако они попарно совместимы.

Язык высказываний. Построим таблицы истинности высказываний,, 3. a b c a b a c b c В таблице нет ни одной строки, где бы все три высказывания были бы одновременно истинны, поэтому высказывания несовместимы в совокупности; однако они совместимы попарно. Результаты обоих подходов, естественно совпали.

Источник: https://docplayer.ru/37745522-Mnozhestva-i-operacii-nad-nimi-diagramma-venna-sootnosheniya-mezhdu-mnozhestvami-i-vyskazyvaniyami.html

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве статей ГК РФ, о множестве логических возможностей и т.д. Множества будем обозначать прописными латинскими буквами: А, В, … Если элемент х принадлежит множеству А, пишут х е А (читают: «х принадлежит множеству А»), в противном случае пишут х g А («х не принадлежит множеству А»).

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым; его обозначают символом 0. Множество считается заданным, если о любом данном объекте можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

Существует два способа задания множества: дается полный перечень элементов множества; например, множество результатов ания присяжного такого: {«за», «против», «воздержался»}; указывается правило определения принадлежности любого объекта к рассматриваемому множеству; например, запись А = {х: | х | lt; 10} означает, что А состоит из таких чисел х, модуль которых меньше 10 (после двоеточия записано правило, которому должно удовлетворять число х, чтобы его можно было отнести к множеству А). Два множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества А и В равны, то пишут A = В. Например, заданные перечнем элементов множества А = {1, 2, 3} и В = {3, 2, 1} равны, т.е. А = В, или {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В — часть, или, иначе, подмножество множества А. В этом случае пишут В с А (читают «В — подмножество множества А»). В последующем исходное множество будем называть универсальным и обозначать буквой О (прописная греческая буква «омега»). Собственные подмножества множества О — это те подмножества, которые содержат некоторые, но не все элементы О. Наряду с собственными подмножествами условимся само О и пустое множество 0 также считать подмножествами множества О. На базе множества О = {©1, ©2} можно образовать 22 = 4 подмножества: {шД, {©2}, О, 0, из которых 22 — 2 = 2 собственных — это {юх} и {©2}- На базе множества Q = {©1, ©2, ©3} можно образовать 23 = 8 подмножеств: {©1}, {©2}, {©3}, {©1, ©2}, {©1, ©3}, {©2, ©3}, Q, 0, из которых 23 — 2 = 6 собственных. На базе множества Q, содержащего N элементов, можно образовать 2N подмножеств, из которых (2N — 2) собственных. Выше были рассмотрены способы, которыми из данных высказываний могут быть образованы новые высказывания. Рассмотрим аналогичный процесс образования новых множеств из данных множеств А и В, при этом будем предполагать, что и А, и В, и вновь образованное множество являются подмножествами некоторого универсального множества Q. Для наглядного представления операций над множествами используем диаграмму Венна1, на которой универсальное множество Q изображается прямоугольником, а его подмножества А и В — некоторыми фигурами, чаще кругами, внутри прямоугольника.

Пересечением множеств А и В называется множество АПВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и В одновременно (словосочетание «из тех и только тех» в данном контексте означает, что АПВ состоит из элементов, принадлежащих одновременно А и В, и никакие другие элементы в АПВ не входят).

Пересечение АПВ множеств А и В на диаграмме Венна изображено на рис. 7.17,а заштрихованной областью. Если А и В не имеют общих элементов, то пересечение АПВ будет пустым множеством 0, т.е. АПВ = 0 (рис. 7.17,6).
Рис. 7.17 Объединением множеств А и В называется множество АиВ, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А или В (или А и В одновременно, если таковые элементы есть) (рис. 7.18,а и 7.18,6 — заштрихованные области). 1 Bern Джон (1834—1923) — английский логик. ла и т.д. Некоторые члены группы могут объединяться в коалицию с целью проведения названной меры. Коалицию называют выигрывающей, если ее достаточно для проведения меры; проигрывающей, если члены, не вошедшие в коалицию, могут провести свое решение вопреки желанию коалиции. Коалицию называют блокирующей, если ее члены сами по себе, как и члены, не вошедшие в эту коалицию, не могут провести никакого решения. Рис. 7.20

Например, комитет состоит из трех членов: X (председатель), имеющий два голоса, и xj и х2, имеющие по одному голосу каждый. Исход решается простым большинством . Возможные варианты ания трех членов указаны в таблице на рис. 7.21.

№ вариантаXХ1Х2
1++++
2+++
3+++
4++
5++
6+
7+
8

Рис. 7.21 За универсальное множество Q примем множество {X, xj, Х2} всех членов комитета в предположении, что каждый из них высказался «за», Q = {X, хь х2}. Тогда, например, подмножество {X, х означает, что X и х\ проали «за», а х2 — «против» (т.е. имеет место второй вариант ания), а пустое множество 0 означает, что все члены комитета проали «против» (8-й вариант ания). Количество подмножеств множества Q, включая Q и 0, равно 23 = 8, из которых 6 собственных (варианты 2—7). Так как решение «за» принимается в 1, 2 и 3 вариантах ания, а решение «против» в 8, 7 и 6 вариантах, то выигрывающими коалициями являются множества Q = {X, хь Х2}, {X, хД, {X, Х2}, а проигрывающими: 0, {Х2}, {xj}. Обратим внимание на следующее: если множество — коалиция С является выигрывающей (проигрывающей), то дополнение С множества С — проигрывающая (выигрывающая) коалиция. Для подтверждения приведем такую таблицу: Среди выигрывающих коалиций выделяют минимальные выигрывающие (в задаче это коалиции {X, хД и {X, Х2}). Минимальная выигрывающая коалиция — это такая выигрывающая коалиция, ни одно из собственных подмножеств которой не является выигрывающей коалицией. Выигрывающая коалиция {X, xj} — минимальная, так как ни одно из ее собственных подмножеств: {X} и {xj}, не является выигрывающей коалицией; то же относится и к коалиции {X, х2}. В 4-м и 5-м вариантах (рис. 7.21) решение принято не будет (нет большинства); поэтому коалиция {X} и коалиция {xj, х2} — блокирующие. Обратим внимание на то, что сумма чисел выигрывающих, проигрывающих и блокирующих коалиций равна числу подмножеств множества О. Пример 7.5. Интересным примером группы, принимающей решения, служит Совет безопасности ООН, состоящий при существовании СССР из одиннадцати членов: пяти представителей великих держав (Xi, X2, …, X5), каждый из которых мог единолично блокировать любую меру, и шести представителей малых наций (xi, Х2, …, хб). Каждый из 11 членов имел один голос (возможность «воздержания» исключим). Для принятия Советом какой-то меры необходимо, чтобы за нее проало семь членов, включая «большую пятерку». За универсальное множество П примем множество {Xi, …, X5, xi, …, xg} всех членов Совета в предположении, что каждый из них высказался «за». Общее число вариантов ания 11 членов равно 211 = 2048 — столько подмножеств имеет множество П = {Xi, …, Х5, xi, …, хб}. Любое подмножество множества П, состоящее из «большой пятерки» и двух или более (не менее двух) представителей малых наций, будет выигрывающей коалицией; а лю

бое подмножество, состоящее из четырех или менее (не более четырех) представителей малых наций будет проигрывающей коалицией. Примеры этих коалиций приведены в следующей таблице:

Выигрывающая коалиция (множество С)Проигрывающая коалиция (множество С = П\С)
С = {хь …, хд ХЬ Хд} С = {Xi, …, X5, xi, Х2, Хд} С = {Xi, …, X5, xi, Хд, хд, Хд} С = {Xi, …, X5, хь Хд, Хд, Хд, Хд} С = {Xi, …, X5, х1, …, Хб} С = {хз, хд, х5, хб} С = {хд, х5, хб} С = {х5, хб} С = {хб} С = 0

Общее число выигрывающих коалиций[IV] равно 57 (столько же и проигрывающих коалиций), из которых 15 будут минимальными — это коалиции, состоящие из «большой пятерки» и двух представителей малых наций. Число блокирующих коалиций равно (2048 — 57 — 57) = 1934, среди них и единичные множества {Xi}, {Хд}, {Хд}, {Хд}, {Хд}. Между множествами и высказываниями, а также между операциями над множествами и операциями, связывающими простые высказывания в составные, существует тесная связь. Естественный способ сопоставления высказываний с множествами такой: для имеющихся высказываний а, b, с, … находим множество Q всех логических возможностей — универсальное множество; на множестве Q выделяем подмножества А, В, С, … логических возможностей, для которых истинны соответственно высказывания а, b, с, …; А, В, С, … называют множествами истинности соответствующих высказываний; каждому высказыванию поставим в соответствие его множество истинности. Естественный способ сопоставления операций связывания высказываний и операций над множествами такой: множество истинности высказывания алЬ — это множество ЛПБ (рис. 7.22, область двойной штриховки); множество истинности высказывания avb — это множество АиВ (рис. 7.22, вся заштрихованная область); Замечание. На рис. 7.22 множества А и В истинности высказываний а и b имеют общие элементы — это говорит о том, что допустима одновременная истинность а и b, т.е. а и b — совместимые высказывания. Множества А и В истинности несовместимых высказываний а и b не имеют общих точек (рис. 7.18,а), но и в этом случае множество истинности высказывания avb (точнее a v b) — это множество АиВ. множество истинности высказывания -а (иначе, множество «ложности» высказывания а) — это множество А (рис. 7.19, заштрихованная область); множество истинности высказывания а-Ъ — множество A U B; это объясняется тем, что высказывание аЪ эквивалентно высказыванию -avb (рис. 7.6, последние три столбца), множеством истинности которого является множество A U B (рис. 7.23, заштрихованная область); обратим внимание на то, что незаштрихованная на рис. 7.23 область — это множество А\В, тогда заштрихованная область — это множество A \ B , и следовательно, A U B = A \ B ; множество истинности высказывания аЪ, эквивалентного высказыванию (-avb)A(-bva), — это множество (A U B )П( В UA), или равное ему множество A \ B П B \ A ; последовательность построения множества истинности приведена на рис. 7.24; множество истинности логически истинного высказывания (напомним, это высказывание, истинное в каждом логически возможном случае) — это множество Q всех логических возможностей; множество истинности логически ложного высказывания — пустое множество 0. rue. 7.24 И наконец, как на языке множеств выглядят отношения следования и эквивалентности? Ответ: • из высказывания а следует высказывание b, если и только если импликация аЬ логически истинна; логическая же истинность высказывания аЬ означает, что его множество истинности A\B = П, и тогда А\В = 0, но последнее равенство верно в том и только том случае, когда множество А является подмножеством множества В. Итак, из высказывания а следует высказывание b, если и только если между множествами А и В истинности этих высказываний имеет место соотношение: АсВ (рис. 7.25); • высказывания а и b эквивалентны, если и только если двойная импликация аЬ логически истинна; логическая же истинность высказывания аЬ означает, что его множество истинности A\B П B\A = Q, но последнее равенство верно в том и только том случае, когда А = В. Итак, высказывание а эквивалентно высказыванию b, если и только если между множествами А и В истинности этих высказываний имеет место соотношение: А = В (рис. 7.26). Приведем итоговую таблицу соотношений между высказываниями и множествами: Рис. 7.27 Выявленные соотношения позволяют перевести любую задачу, относящуюся к высказываниям, в задачу теории множеств, и наоборот, задачу, относящуюся к множествам, перевести на язык высказываний. Приведем пример, подтверждающий целесообразность такого перехода. Пример 7.6. Пусть требуется выяснить, совместимы или нет следующие высказывания: Если математика интересна (=а), то я буду над ней работать (=b); Если математика не интересна (=~а), то я получу по этому предмету плохую оценку (=с); Я не буду работать над математикой (=~b), но получу по этому предмету хорошую оценку (=~с). В принятых обозначениях символьные выражения высказываний таковы: а-b; ~а-с; ~Ьл~с. Ответим двумя способами: используя язык множеств и используя язык высказываний.

gt; Язык множеств. Перейдем от высказываний к множествам истинности:

ВысказываниеМножество истинности
1. аЪA \ B
2. ~ас
3. ~Ъл~сA \ C
B n C

Множества истинности изобразим на диаграммах Венна (рис. 7.28, заштрихованные области). Рис. 7.28 Из диаграмм видно: нет элементов множества логических возможностей П, которые бы принадлежали одновременно всем трем множествам истинности, иначе нет ни одной логической возможности для одновременной истинности высказываний 1, 2, 3, поэтому эти высказывания несовместимы в совокупности; однако они попарно совместимы. gt; Язык высказываний. Построим таблицы истинности высказываний 1, 2, 3 (рис. 7.29).

аЬсаЬ~ас~Ьл~с
1ииииил
2иилиил
3илилил
4Лиииил
5илллии
6лилилл
7ллииил
8лллили

Рис. 7.29 В таблице нет ни одной строки, где бы все три высказывания: а-Ь, ~а-с, ~Ьл~с были бы одновременно истинны, поэтому высказывания несовместимы в совокупности; однако они совместимы попарно. Результаты обоих подходов, естественно, совпали. Контрольные вопросы и задания Приведите примеры социально-правовых задач, решаемых математическими методами. Дайте определение конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, двойной импликации; таблицы истинности этих высказываний. Приведите примеры логических формул правовых норм. Дайте определение отношения следования, эквивалентности и несовместимости. Приведите примеры необходимых и достаточных условий в формулировках правовых норм. Дайте определение правильного и ложного аргумента. Приведите примеры аргументов, их словесной и символьной записи, примеры правильных и ложных аргументов. Операции над множествами; изображение операций на диаграммах Венна. Сопоставление логических операций над высказываниями с операциями над множествами истинности этих высказываний.

Источник: https://bookucheba.com/informatika_1210/mnojestva-operatsii-nad-nimi-diagramma-venna-58062.html

Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский

Томский политехнический университет

Институт природных ресурсов

Кафедра ВМ

РЕФЕРАТ

Тема: «Диаграмма Эйлера-Венна»

Исполнитель: Герасимова Т.О.

Студент группы 2У00

Руководитель: Тарбокова Т. В.

Томск 2011

Введение……………………………………………………………….………..3

1. Из истории…………………………………………………………….….…..4

2. Диаграмма Эйлера-Венна……………………………………………….…..4

3. Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна………………….5

a) Объединение……………………….. ……………………………….……7

b) Пересечение, дополнение………………….……………………………..7

c) Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность…………………………….8

d) Разность……………………………………………………………………8

e) Симметрическая разность и эквивалентность…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………………………….………..11

Введение

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Круги были изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики».

Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Из истории

Леонард Эйлер (1707 – 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) —математик, механик, физик. Адъюнкт по физиологии, профессор физики, профессор высшей математики, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать вСанкт-Петербург, куда переехал годом позже.

С 1711 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.

Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Джон Венн (1834 – 1923), английский логик. Работал в области логики классов, где создал особый графический аппарат (так называемые диаграммы Венна), нашедший применение в логико-математической теории «формальных нейронных сетей». Венну принадлежит обоснование обратных операций в логическом исчислении Дж. Буля.

Основной областью интереса Джона была логика, и он опубликовал три работы по этой теме.

Это были “Логика случая”, в которой вводится интерпретация частоты или частотная теория вероятностей в 1866; “Символьная логика”, с которой были введены диаграммы Венна в 1881; “Принципы эмпирической логики” в 1889, в которой приводятся обоснования обратных операций в булевой логике.

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами.

Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые “Письма к немецкой принцессе”, написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих “Писем…” Эйлер как раз и рассказывает о своем методе.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в книге “Алгебра логики”.

Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге “Символическая логика”, изданной в Лондоне в 1881 году.

В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.

Диаграмма Эйлера-Венна

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры. Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии:

Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости. Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях.

Такие изображения множеств и называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.

Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера-Венна заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.

Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств.

Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Основные операции над множествами:

  • Пересечение
  • Объединение
  • Разность

Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):    
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Теперь более подробно на примерах.

Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после пересчета можно было бы обозначить как

V = {1, 2, …, 11}.

Предположим далее, что часть предметов, 1, 2, 4 и 6, имеет круглую форму, а часть — 2, 3, 4, 8 и 9 — окрашена в белый цвет. В этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества

A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть фундаментальным, а подмножества A и B – просто множествами.

В результате получим четыре класса элементов:

C0 = {5, 7, 10, 11} — элементы не обладают ни одним из названных свойств,

C1 = {1, 6} — элементы обладают только свойством A (круглые),

C2 = {3, 8, 9} — элементы обладают только свойством B (белые),

C3 = {2, 4} — элементы обладают одновременно двумя свойствами A и B.

На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

Рис. 1.1

Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та, что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество A полностью включено в B. Для такого случая используется специальный символ включения (Ì): A Ì B = {1, 2, 4} Ì {1, 2, 3, 4, 6}.

Если одновременно выполняются два условия: A Ì B и B Ì A , то A = B, в этом случае говорят, что множества A и B полностью эквивалентны.

Рис. 1.2

После того, как определены четыре класса элементов и даны необходимые сведения о диаграммах Эйлера — Венна, введем операции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объединения.

A)Объединение

Объединением множеств A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

назовем множество

A È B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},

где È — символ объединения множеств. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов — C1, C2 и C3, которые на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.

Рис. 1.3

Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент x принадлежит множеству A или множеству B. При этом связка «или» одновременно означает и связку «и». Факт принадлежности элемента x множеству A обозначается как x Î A. Поэтому то, что x принадлежит A или/и B, выражается формулой:

x Î A È B = (x Î A) Ú (x Î B),

где Ú — символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.

B)Пересечение, дополнение

Пересечением множеств A и B называется множество A Ç B, содержащее те элементы из A и B, которые входят одновременно в оба множества. Для нашего числового примера будем иметь:

A Ç B = {1, 2, 4, 6} Ç {2, 3, 4, 8, 9} = {2, 4} = C3.

Диаграмма Эйлера – Венна для пересечения изображена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

То, что x принадлежит одновременно двум множествам A и B можно представить выражением:

x Î A Ç B = (x Î A) Ù (x Î B),

где Ù — символ логической связки «и», которая называется конъюнкцией.

Представим себе операцию, в результате которой окажутся заштрихованными области C1 и C3, образующие множество A (рис. 1.5). Затем еще одну операцию, которая охватит две другие области — C0 и C2, не входящие в A, что обозначается как A (рис.1.6).

 Рис. 1.5    Рис. 1.6  

Если объединить заштрихованные области на обеих диаграммах, то получим все заштрихованное множество 1; пересечение же A и A даст пустое множество 0, в котором не содержится ни одного элемента:

A È A = 1, A Ç A = 0.

Множество A дополняет множество A до фундаментального множества V (или 1); отсюда название: дополнительное множество A, или дополнение как операция. Дополнение к логической переменной x, т.е. x (не-x), называется чаще всего отрицанием x.

После введения операций пересечения и дополнения все четыре области Ci на диаграмме Эйлера – Венна можно выразить следующим образом:

C0 = A ÇB, C1 = A Ç B, C2 = A Ç B, C3 = A Ç B.

Путем объединения соответствующих областей Ci можно представить любую множественную операцию, в том числе и само объединение:

A È B = (A Ç B) È (A Ç B) È (A Ç B).

Источник: https://studopedia.net/6_50800_operatsii-nad-mnozhestvami-diagrammi-eylera-venna.html

Множества, операции над ними, диаграммы Венна

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Билет 1

Множества, операции над ними, диаграммы Венна

Множества – совокупность объектов, обладающих одним общим свойством, и различающими между собой.

Элементы множества:

а А

Множеством А называется подмножество множества В, если для любого элемента а А , также и а В. Обозначается А В.

Два множества А и В равны, если состоят из одних и тех же элементов, то есть 2-а множества равны, если каждая из них является подмножеством другого, а именно:

А В, В А ó А=В

Множества бывают бесконечными и конечными

Способы задания множеств:

1)Перечисление. А={a;b;c} A={2;5;7}

2)Описание общего свойства:

A={x | P(x),k(x)};

Пустое множество не содержит ни одного элемента!!!

Пустое множество является подмножеством любого множества!!!

Ø А; А А;

Множества всех подмножеств множества А называется булианом и обозначается ρ(А)

Например: А={a;b;c}

Число подмножества булианов =

n – число элементов множества

ρ(А) – {{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c}}

Операции с множествами.

1)Объединение множеств.

Объединение множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В.

2)Пересечение множеств.

Пересечение двух множеств А и В, называют множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А так и множеству В.

3)Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат подмножеству А и не принадлежат множеству В.

4)Дополнение множеств.

Универсальным множеством называется множество всех элементов определенного типа (все множества являются подмножествами универсального множества).

– Универсум

Дополнением множества А, называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.

Билет 2

Понятие числового поля, аксиомы поля

Множества натуральных чисел N={0;1;2;3;4;5;6;7;8….;n,…}

Множества целых чисел Z={ }

Множества рациональных чисел

I – Множество иррациональных чисел (бесконечная, непериодическая дробь).

Множество действительных чисел R=Q U I

Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение 2-х своих чисел, называется кольцом

Z; Q; R; C – числовые кольца

N – Не является кольцом

Числовое кольцо называется числовым полем,если оно содержит честное 2-х своих чисел (делитель не равен нулю).

Q; R; C – числовые поля

I – не является числовым полем

Числовое поле P – носитель числового поля

Существуют a; b; c принадлежащие P

Выполняется 9-ть аксиом:

1) a+b=b+a коммутативность

2) (a+b)+c=a+(b+c) ассоциативность

3)Пусть существует 0 принадлежащий P, для любого a принадлежащего P => а+0=а (существование нулевого элемента).

4)Для любого а принадлежащего Р, существует (-а) принадлежащее Р => а+(-а)=0 (существование противоположного элемента).

5) a*b=b*a коммутативность умножения

6) (a*b)*c=a*(b*c) ассоциативность умножения

7) существует 1 принадлежащий P, для любого 0 принадлежащего P => а*1=1*а=а (существование единичного элемента).

8)

9) (a+b)*c=a*c+b*c дистрибутивность

Билет 3

Поле комплексных чисел, комплексные числа в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.

i – мнимая единица

Комплексными называются числа вида z=x+iy

x=R z – действительная часть

iy=Im z – мнимая часть действительных чисел

а = 5

a=5+0i

Между комплексными числами и точками плоскости существует взаимно однозначное соответствие.

z=x+iy алгебраическая форма комплексных чисел

z=x-iy Сопряженное комплексное число

Степени мнимой единицы.

Пример.

Тригонометрическаяформа

z=x+y

– Тригонометрическая форма

Показательная форма

Билет 4

Теорема Безу, основная теорема алгебры

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена на двучлен равен

Доказательство:

Следствие:

Для того, чтобы Pn(z) делился на без остатка, необходимо и достаточно чтобы было корнем многочлена.

Основная теорема алгебры (Гауса):

Всякий многочлен Pn(z) степени не меньше 1 (n>=1) имеет по крайней мере 1-н корень

Доказательство:

Билет 5

Билет 8

Билет 6

Базис в пространстве (ЛВП)

Элементы называются базисом линейного векторного пространства (ЛВП), если – максимальная по включению линейно независимая система векторов L.

(Максимальной по включению – система линейно независимая, но добавление любого вектора делает систему линейно зависимой).

Теорема: Система векторов образует базис ЛВП Ln, тогда и только тогда, когда любой вектор принадлежащий Ln можно представить как линейную камбинацию векторов базиса и это разложение единственно.

– координаты в базисе

Теорема:

– базис ó

λ – координаты вектора в заданном базисе.

Базис в плоскости

Декартов базис

i; j – орты

Билет 7

Билет 10

Билет 9

Смешанное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Смешанное произведение 3-х векторов:

Условие комплонарности:

Доказательство:

Свойства смешанного произведения:

1)Если abc>0 , то тройка векторов правая

Если abcc

a,b-полуоси эллипса

Та ось, на которой находятся фокусы, называется большой

В доказанном случае а-большая

b-малая

A1A2-большая ось

B1B2-малая ось

|A1A2|=2a

|B1B2|=2b

|F1F2|=2c

a2=b2+c2

Если F1=F2(c=0), то эллипс является окружностью.

Билет 15

Гипербола.

Гипербола – это множество точек плоскости, модуль разности расстояния, которых до 2-х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.

Гипербола имеет две асимптоты

Если угол между асимптотами = п/2 , то это равносторонняя гипербола.

Если при этом асимптоты принять за оси ПДСК, то получим гиперболу показанную ниже:

y=c/x

Эксцентриситет

Чем меньше эксцентриситет, тем больше вытянут вспомогательный прямоугольник вдоль фронтальной оси.

Билет 16

Парабола.

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от дальней точки (фокуса) и данной прямой (директриса)

Выберем ПДСК

Проведем Ох перпендикулярно директрисе, через фокус F.

Оу через середину расстояния между F и директрисой.

По определению p=d

|KM|=|FM|

Билет 19

Билет 20

Элементарные преобразования, ранг матрицы, теорема Кронекера-Копелли.

Элементарные преобразования матриц:

1)Перестановка строк.

2)Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля.

3)Прибавление к одной строке другой строки, умноженное на какое-либо число.

4)Те же операции над столбцами.

И в результате всех этих преобразований, получаем матрицу, эквивалентную данной.

Ранг матрицы

Пусть в матрице А размерности m x n выбраны k строк и k столбцов, k

Источник: https://infopedia.su/1x9e58.html

Лекция 2. Отношение между множествами

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Лекция 2. Отношения между множествами.

Между двумя множествами существует пять видов отношений.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅ . Например, А = { a , c , k }, В = { d , e , m , n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅ . Например, множества А = { a , c , k } и В = { c , k , m , n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c , k .

        Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)

        Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами . Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

        Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

        Например, А = { a , c , k , m , n } и В = { m , n , a , c , k }, А = В.

        Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами  или диаграммами Эйлера-Венна.

                                                                    а)                             б)                                    в)                      г)                                    д)

        Разбиение множества на классы называют классификацией.

        Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической . Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные.

Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

        Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3».

При помощи этих свойств в множестве можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого  (рис. 6).

Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не    кратные 3.

                 Рис. 6

        П р и м е р  1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

        а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

        б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

        Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны  не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С.

Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников.

Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

        б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция.

Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами.

В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Задания для самостоятельной работы по теме:

  1.      Приведите примеры множеств А, В, С,  если отношения между ними  таковы:

2.     Образуйте все подмножества множества букв в слове «крот». Сколько подмножеств получилось?

3.     Из множества выделили два подмножества:  А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 5. Постройте круги Эйлера для множеств ; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества ; укажите характеристические свойства этих множеств.

5.     Имеется множество блоков, различающихся по цвету (красные, желтые, зеленые), форме (круглые, треугольные, прямоугольные), размеру (большие, маленькие). На сколько классов разбивается множество, если в нем выделены подмножества: А – круглые блоки, В – зеленые блоки, С – маленькие блоки? Сделайте диаграмму Эйлера и охарактеризуйте каждый класс.

6.     Известно, что А – множество спортсменов класса, В – множество отличников класса. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∩В=Ø

б)А U В=А

7.     Пусть Х= { x  N/ 1 x 15}. Задайте с помощью перечисления следующие его подмножества:

А – подмножество всех четных чисел;

В – подмножество всех нечетных чисел;

С – подмножество всех чисел, кратных 3;

D – подмножество всех чисел, являющихся квадратами;

E – подмножество всех простых чисел.

В каких отношениях они находятся?

Источник: https://infourok.ru/lekciya-otnoshenie-mezhdu-mnozhestvami-3139046.html

Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Множества и операции над ними. Диаграмма Венна. Соотношения между множествами и высказываниями

Равенство множеств.

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств обозначают так: А = В.

Если множества не равны, то пишут А ¹ В.

Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В, или В Ì А.

Например, множество решений уравнения x2 – 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 – простым числом не является.)

Пересечение (умножение) множеств.

Множество D, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.

Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер­жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас­смотренных множеств Х и Y:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).

Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]

Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно­жество учеников восьмых клас­сов, являющихся членами хими­ческого кружка.

Пересечение множеств (и другие операции – см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.

А В

Рис. 2. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума. Венн предложил использовать круги и прямоугольники.

При этом универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества – соответствующими кругами. В дальнейшем такие схемы стали называть диаграммами Эйлера-Венна.

Пересечение множеств (выделено серым) изображено на диаграмме рис. 3.

А В

Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В, являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника

Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово­рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество, и пишут А В = Æ.

Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.

Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[ (рис. 4).

Рис. 4. Пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и [2; +¥[ представляет собой пустое множество

Пересечение любого множества А с пустым множеством есть, очевидно, пустое множество: А Æ = Æ.

Можно рассматривать пересечение n множеств:

А = Аi = А1 А2 … Аn,

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества А1, А2, … Аn.

Например, если А, В и С – соответственно множества учеников класса, решивших на контрольной по математике задачу по алгебре, задачу по геометрии, задачу по тригонометрии, то пересечение этих множеств есть множество учеников этого класса, решивших все три задачи.

Объединение (сумма) множеств.

Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В: С = А В.

Изображение объединения множеств (выделено серым) при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 5.

Рис. 5. Объединение множеств А и В

Например, если А = {1, 2, 3, 4} и В = {1, 3, 5, 7, 9}, то С = А В = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.

Объединением множества учеников школы моложе 12 лет с множеством учеников той

же школы старше 10 лет является множество всех учеников данной школы.

Можно рассматривать объединение n множеств:

А = Аi = А1 А2 … Аn,

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств А1, А2, … Аn.

Например, множество всех действительных чисел R состоит из множества положительных чисел R+, множества отрицательных чисел R- и множества {0}, т.е.:

R = R+ R- {0}.

Объединение множеств вершин треугольников, вписанных в данную окружность, представляет собой множество точек этой окружности.

Задача 2.

Пусть Е – некоторый универсум, а множество А принадлежит этому универсуму, т.е. А Ì Е.

Записать и изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна пересечение и объединение этих множеств.

Решение.

Универсум Е изобразим в виде прямоугольника, а его подмножество А – в виде круга, расположенного внутри прямоугольника.

Для случая пересечения получаем (см. рис. 6 – пересечение выделено серым цветом):

А Е = А.

Рис. 6. Пересечение (выделено серым) универсума Е и его подмножества – множества А

Для случая объединения рассматриваемых множеств (см. рис. 7 – объединение выделено серым цветом) имеем: А Е = Е.

Рис. 7. Объединение (выделено серым) универсума Е и его подмножества – множества А.

Разность двух множеств. Дополнение.

Разностью двух множеств А и В называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В: G = А \ В (рис. 8).

Например, G = {1, 2, 3, 4} \ {1, 3, 5, 7, 9} = {2, 4}.

Если множество В – подмножество множества А (В Ì А), то разность А \ В называется дополнением к В до А (рис. 9). Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {2, 4}, то множество {1, 3, 5, 6} – дополнение к В до А.

Дополнение к А до универсума Е имеет особое обозначение: Е \ А = ØА (рис. 10).

Рис. 8. Разность А \ В (выделено серым) двух множеств А и В

Рис. 9. Разность А \ В (выделено серым) является дополнением к В до А

Рис. 10. Дополнение (выделено серым) к А до универсума Е имеет особое обозначение ØА: Е \ А = ØА

Задача 3. Рассмотрим множество всех студентов. Пусть А – множество студентов, учащихся на юридических факультетах. В – множество студентов, изучающих английский язык. Описать множества А В, А В, А \ В, ØА.

Решение.

1) А В – это множество студентов, которые либо учатся на юридических факультетах, либо изучают английский язык, либо и то и другое вместе.

2) А В – это множество студентов-юристов, изучающих английский язык.

3) А \ В – множество студентов-юристов, которые не изучают английский язык.

4) ØА – множество всех студентов-неюристов.·

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/10_40899_osnovnie-operatsii-nad-mnozhestvami-diagrammi-eylera-venna.html

Book for ucheba
Добавить комментарий