Монотонноепреобразованиефункцииполезности.

2. Предпочтения потребителя, функция полезности и бюджетное ограничение

Монотонноепреобразованиефункцииполезности.

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Тема 2. Предпочтенияпотребителя, функция полезности ибюджетное ограничение.

Рыночный спрос, формируется на основерешений, принимаемых множеством отдельныхлиц, которые руководствуются своимипотребностями и финансовыми возможностями.

Для принятия решения о том, как распределитьсвои денежные средства между разнообразнымипотребностями, необходимо иметькакую-либо общую основу для ихсопоставления.

В качестве такой основыэкономистами была выбрана полезность(в конце 19 века).

Термин полезность введен английскимфилософом И.Бентамом, который считал,что руководящим психологическимпринципом поведения людей являетсяпринцип максимизации полезности(стремление избежать страданий иувеличить удовольствия – гедонизм)

Использование теории полезности даловозможность создать теорию потребительскогоповедения, основанную на гипотезе осопоставимости полезности различныхблаг.

Предполагается, что индивидстремится распределить имеющиесяденежные средства на покупку благ такимобразом, чтобы максимизировать ожидаемоеудовлетворение (полезность) от ихпотребления.

При этом он руководствуетсятолько своими вкусами и предпочтениями,т.е. полезность имеет личностный,субъективный характер.

Для максимизации полезности, потребительдолжен иметь возможность сравниватьполезность различных благ. Существуетдва подхода, на основе которых решаетсяданная проблема: количественный(кардиналистский) подход и порядковый(ординалистский).

Количественный (кардиналисткийподход)

Данная теория была разработана независимодруг от друга тремя экономистами У.Джевонсом, К. Менгером, Л. Вальрасом впоследней трети 19 века.

Основная идея: полезность любого благаможно измерить в гипотетических единицахполезности – ютилях. Оценка полезностиимеет личностный, сугубо индивидуальныйхарактер, т.е. одно и тоже блага можетиметь различную оценку у разных индивидов,поэтому данный подход как правило непредусматривает возможность соизмеренияобъемов полезности, получаемых разнымипотребителями.

Формально можно записать, что суммарнаяполезность от потребления различныхблаг равна TC = F(A,B,C…), гдеA,B и С – объемы соответствующихблаг.

Джевонссчитал, что TC=TC(A)+TC(B)+.., т.е.функция полезности аддитивная. Однакоэто верно только для случая с независимымиблагами, т.к. вполне возможна ситуациякогда возникнет эффект синергии, т.е.одновременное потребление двух благпринесет большую полезность, чемпотребление данных благ в отдельности.

Если зафиксировать количество всехблаг, кроме A, и построитьграфик функции TC от A, тов соответствии с кардиналисткой теориейфункция полезности будет иметь следующийвид (см. график 3.1.) – онадо определенного момента возрастающаяи выпуклая вверх. Функция полезностиможет иметь точку максимума, послекоторого она начнет убывать.

Предельная полезность MU поi-му товару – этоприрост общей полезности товарногонабора при увеличении объема потребленияi-того товара на 1 единицу.Геометрическая интерпретация: предельнаяполезность = тангенсу угла наклонакасательной к кривой TU вточке L.

Принцип убывающей предельной полезностиназывают 1-м законом Госсена (онвпервые сформулировал этот закон). Всоответствии с данным принципом:

  1. полезность последующих единиц блага в одном непрерывном акте потребления убывает, т.к. что в пределе наступает полное насыщение этими благами

  2. полезность первых единиц блага при повторных актах потребления снижается

Принцип убывающей полезности имеетсходство с психофизическим закономВебера-Фехнера, в соответствии с которым,раздражения равной интенсивности,повторяющиеся в течение определенноговремени, сопровождаются снижениеминтенсивности ощущений.

Математически принцип убывающейполезности можно записать следующимобразом:

Рост потребления i-тогоблага ведет к тому, что общая полезностьвозрастает, но рост происходит все болеемедленно.

Принцип убывающей предельной полезностине универсален, т.е. нельзя говорить,что всегда предельная полезность сразуубывает.

Во многих случаях предельнаяполезность по­следующих единиц благасначала увеличивается, достигаетмаксимума и лишь затем начинает снижаться.Такая зависи­мость характерна длянебольших порций делимых благ. (см. рис3.

1, вторая половина). Наэтом графике 1-ый закон Госсена начинаетвыполняться только после достиженияточки Q'a.

Рассмотрим следующую ситуацию:потребитель обладает некоторым доходом,цена на товары A, B .. Z независят от поведения потребителя иравны соответственно Pa, Pb ..Pz. Все блага бесконечны делимы и несуществует товарного дефицита. В даннойситуации потребитель достигнет максимумаудовлетворения своих потребностей,если распределит свои средства напокупку товара таким образом, что

  1. для всех реально покупаемых товаров выполняется следующее соотношение:

где λ – предельная полезностьденег, показывающая, как увеличиваетсяобщая полезность при увеличении доходана 1 единицу

  1. для всех непокупаемых товаров выполняется следующее соотношение:

Доказательство: предположим, что А и Вреально покупаемые блага. Однако пустьMUa/Pa> MUb/Pb. В данной ситуации потребитель недостигает оптимума удовлетворения,т.к.

он может сократить потреблениеблага В и увеличить потребление благаА, что принесет ему большую общуюполезность.

Данное перераспределениеобъема потребляемых благ будет происходитьдо тех пор, пока не начнет выполнятьсясоотношение (1). Аналогично объясняетсясоотношение (2).

Вывод: в оптимуме полезность, извлекаемаяиз последней денежной единицы, потраченнойна покупку какого-либо товара, одинакова,независимо от того, на какой именнотовар она израсходована. Данный выводназывается 2-м законом Госсена.

Используя данный закон, можно показать,что рост цены на товар будет вести ксокращению спроса на данный товар. Такесли Ра вырастет, это значит MUa/Paсократится, следовательно, длявосстановления условия (1) потребительуменьшит потребление товара А, увеличивпотребление других товаров.

Порядковый (ординалисткий подход)

Теория разрабатывалась Ф. Эджуортом,В. Парето, И. Фишером в качестве альтернативыколичественному подходу.

В отличие откардиналистского подхода от потребителяне требуется умения измерять полезностьтого или иного блага в каких-тоискусственных единицах измерения.

Ондолжен быть способен упорядочить всевозможные товарные наборы по ихпредпочтительности для него, т.е. уметьсравнивать различные товарные наборыиз всего товарного множества.

Используемые обозначения:

х y хпредпочтительнее или не хуже, чем y.

х ~ yпотребителюбезразлично какой набор выбрать х илиу

х  y

y  x

Если можно сказать, что х не хуже, чемy, но нельзя сказать, что y не хуже, чемx, то говорят, что х строго предпочтительней,чем y:

х y

 х  y.

х  y

АКСИОМЫ порядкового подхода

  1. Аксиома полноты (полной упорядоченности, сравнимости).

    Мы предполагаем, что у изучаемого нами экономического субъекта, отношение предпочтения такое, что он может сравнить любые две альтернативы: х, yХ: х yилиy х. Если имеет место и то и другое, то y ~ x. Аксиома вполне очевидная, говорящая лишь о том, что индивид способен сравнивать любые два набора из имеющегося множества, нарушение аксиомы возможно лишь в тех случаях, когда ранжирование альтернатив является делом крайне проблематичным, и на просьбу сравнить 2 альтернативы индивид отвечает “не знаю”. Аксиома полноты может не выполняться из-за отсутствия полноты информации у индивида, принимающего решение.

  2. Аксиома рефлексивности. Мы всегда можем сказать, что любой набор из данного множества по крайне мере не хуже себя: хХ: х х. Т.е. любой товарный набор сравним сам с собой, он не хуже себя.

    Здесь имеется ввиду следующее: пусть все это развернуто во времени, и сегодня индивиду нравится данный набор, следовательно, если выполняется данная аксиома, то завтра – этот набор также будет нравиться индивиду, т.е. невозможно изменение предпочтений, т.к. мы считаем, что отношения уже определились.

    Ситуация нарушения аксиомы: ребенок не может выбрать между двумя абсолютно идентичными предметами.

  3. Аксиома транзитивности. х, y, zХ: х y,y zх z.

    Если потребитель считает, что набор Х по крайне мере не хуже набора У, а набор У по крайне мере не хуже набора Z, то значит, он считает, что набор Х по крайне мере не хуже набора Z. В практических ситуациях свойство транзитивности оказывается трудно выполнимым.

    На практике, большую роль играет следующее: чтобы в реальности выполнялась транзитивность, нужно, чтобы множество Х было как можно ỳже, чем ỳже множество, тем легче индивиду сформировать действительно транзитивное отношение предпочтения.

  4. Аксиома независимости потребителя. Удовлетворение потребителя зависит только от количества потребляемых им благ и не зависит от количества благ, потребляемых другими. Аксиома означает, что потребителю не знакомы чувства зависти, сострадания. Данная аксиома практически не применима при анализе экстерналий.

Предпочтения потребителя являютсярациональными, если они обладаютследующими двумя свойствами: полнотойи транзитивностью.

Функция полезности и её монотонноепреобразование.

Функция полезности – это некийспособ описания отношений предпочтенийпотребителя.

Это такой способ, когдакаждому возможному потребительскомунабору некоего численного значения,при котором более предпочитаемым наборомприписываются большие численныезначения, чем менее предпочитаемым.

Функция U является функциейполезности только в том случае, еслиона описывает предпочтения, т.е., еслидля любого набора х и у верно следующее,что х у, тотогда U(x) должна быть ≥U(y).

Использование функции полезностипозволяет ранжировать различные товарныенаборы, т.е. нам не интересно конкретноезначение функции полезности как таковое,нам интерес порядок. Таким образом ,можно говорить, что речь идет о порядковой(ординалистской) полезности.

Т.к. нам важен порядок, а не конкретноезначение функции, то это означает, чтоне существует единственного способаприписывания значений функции полезноститоварным наборам, т.е. если найден хотябы один такой способ, то это значит, чтоможно найти бесчисленное количествоспособов сделать это, используя монотонноепреобразование.

Монотонное преобразованиефункции полезности есть функцияполезности, представляющая те же самыепредпочтения, что и исходная функцияполезности. Если функция Fявляется строго возрастающейфункцией (т.е. F'u>0),а функция U(X) представляетнекоторое предпочтение, то тогда F(U(X))будет представлять точно такие жепредпочтения, т.к.

F(U(X))≥F(U(Y))↔ U(X) ≥ U(Y) ↔ X Y.

Свойства функции полезности являютсяординалистскими, если являютсяинвариантными для любого строговозрастающего преобразования, если нет– то они кардиналистские.

Всегда ли существует функция полезности?– нет. Пример: при нарушение аксиомытранзитивности, функция полезности несуществует, т.к. U(X) > U(Y) >(Z) > U(X) с точки зрения математикиабсурд.

Кривые безразличия и их свойства.

Предпочтения потребителей можно описатьтакже и графическим способом, используякривые безразличия. Кривая безразличия– это множество точек, каждая из которыхпредставляет собой такой набор из двухтоваров, что потребителю безразлично,какой из этих наборов выбрать. Еслизаполнить двухмерную плоскость кривымибезразличия так плотно, как это возможно,то мы получим карту безразличий.

Дополнительные свойства отношенийпредпочтений:

5.1. Аксиома монотонности предпочтений(аксиома ненасыщения). Чем товара больше,тем лучше. Пояснения: 1) речь идет облагах, а не об антиблагах, т.е.

предпосылкаисключает антиблага из анализа 2) Еслиу нас есть два товарных набора (х1,х2)и (у1, у2), причем во второмнаборе каждого товара по крайне мерене меньше, а одного даже больше, чем впервом наборе, то второй набор долженбыть более предпочтительным дляпотребителя при условии выполненияданной аксиомы.

Примернарушения аксиомы – существованияточки насыщения или блаженства, кривыебезразличия окружают данную точку.Наборы, лежащие на более удаленных отданной точки кривых безразличия, обладаютменьшей полезностью, чем более приближенныенаборы.

5.2. Средние значения предпочитаютсякрайним. Речь идет о том, что если взятьдва товарных набора, лежащих на кривойбезразличия, то взвешенное среднее двухнаборов будет по крайне мере не хужекаждого из этих двух наборов, т.е.множество является выпуклым.

5.3. Строгая монотонность: у нас есть дванабора, если первый по крайне мере нехуже второго и эти наборы различны, топервый набор лучше второго.

5.4. Локальная ненасыщаемость: если хХи >0,то существует потребительский наборуХ такой, что у-х и ух

Свойства кривых безразличия.

  1. Кривые безразличия не пересекаются (это фундаментальное свойство), если бы пересекались, то нарушалась бы аксиома рефлексивности, т.к. одна и та же точка принадлежала бы различным кривым безразличия, т.е. обладала бы различной полезностью.

  2. Кривая безразличия, лежащая выше и правее другой кривой, т.е. более удаленная от начала координат, представляет собой более предпочтительные для данного потребителя наборы товаров, т.е. характеризует большую полезность. (свойство выполняется при условии монотонности предпочтений)

  3. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон

Доказательство. Проведем източки А две перпендикулярные прямые,которые поделят плоскость на 4 части.Кривые безразличия не могут иметьположительный наклон и проходить в Iи III полуплоскостях, т.к. иначенарушается аксиома о ненасыщаемости.

  1. Кривая безразличия может быть проведена через любую точку пространства. (Свойство любой линии в Евклидовой геометрии)

  2. Кривые безразличия выпуклы к началу координат, свойство отражает принцип диверсификации потребления. (Т.е. MRS снижается при движении вниз по кривой)

Предельная норма замещения (MRS)показывает наклон кривой безразличияв данной точке. MRS измеряетпропорцию , в которой потребитель готовзаместить один товар другим. MRS= lim Δх2/ Δх1при U=const. MRS такжеиногда называют предельной готовностьюплатить.

Связь MRS иМU.

MUx = ΔU/ Δх  ΔU = MUxΔх

MUy = ΔU/ Δy  ΔU = MUyΔy

Рассмотрим ситуацию, когда при изменениипотребительского набора общая полезностьостается неизменной, т.е. ΔU= MUxΔх + MUyΔy = 0 MRS = Δу/ Δх= -МUx / MUy < 0

P.S. Монотонные преобразованияне изменяют MRS.

Бюджетное ограничение потребителя(конкурентное бюджетноемножество)

Множество товарных благ образуеттоварное пространство RL. Товарный набор,потребляемый потребителем, обозначимчерез вектор Х= (x1,x2 ..xL) -потребительский набор.

Предпосылки:

  1. все товары, продающиеся на рынке имеют цены, т.е. существует ценовой вектор P = (p1,p2..pL)

  2. потребитель не в состоянии повлиять на них (price-taking assumption)

  3. доход потребителя равен I

Бюджетное ограничение может бытьзаписано в виде p1x1+p2x2+..+pLxL ≤ I

Уравнение бюджетной линии может бытьзаписано в виде p1x1+p2x2+..+pLxL = I

Бюджетное ограничение потребителятребует, чтобы сумма денег затраченнаяна потребление товаров, не превышаласумму денег, которую может израсходоватьданный потребитель.

Бюджетное множество представляетсобой множество потребительских наборов,доступных потребителю при данном уровнецен и данном располагаемом доходе.Вальрасианское (конкурентное)бюджетное множество:

BP,I= {XєRL+:P·X≤I}

Часто для удобства вводят еще однупредпосылку о существовании всего двухблаг Х1 и Х2. При этом под Х2подразумевают как правило композитныйтовар, представляющий собой всеостальные товары помимо Х1, которыехотел бы приобрести потребитель. Еслирассматривать Х2 как количестводенег, потраченных на другие товары, тор2=1 (цена-измеритель), т.к. цена 1доллара есть доллар.

В данном случае бюджетное ограничениеописывается неравенством х1р1+х2р2≤ м, бюджетная линия – множество точек,удовлетворяющих равенству х1р1+х2р2= м. м – сумма денег, имеющаяся в распоряжениипотребителя.

Уравнение бюджетной линии: х2= м/р2 – (р1/р2)х1.Бюджетная линия ограничивает сверхудоступное для потребителя множествотоваров – это экономический смысл.

Наклонбюджетной линии равен p2/p1.Он характеризует альтернативные издержкипотребления 1-го товара, т.е. показываетот какого количества товара 2 надоотказаться, чтобы потребить дополнительнуюединицу товара 1.

Изменения бюджетной линии:

  • при росте дохода происходит параллельный сдвиг бюджетной линии вправо
  • при увеличении цены товара 1 бюджетная линии становится круче, т.к. теперь потребитель может приобрести меньшее количество блага 1 (см. рисунок на правой стороне листа)
  • при одновременном росте цен на оба товара в t-раз произойдет параллельный сдвиг бюджетной линии влево, т.е. это равносильно уменьшению дохода в t-раз.
  • при одновременном росте цен на оба товара в t-раз и увеличении дохода в t-раз график не изменится.

Ломанные бюджетные линии.

Помимо изменения цен и располагаемогодохода на форму бюджетной линии влияеттакже ряд других факторов: это налоги,субсидии, рационирование (нормирование).

  • Введение налога на объем покупок будет иметь аналогичное влияние, что и рост цены, т.к. фактически за единицу товара потребитель теперь вынужден платить (p+t), где t – величина налога. (см. график для роста цены из предыдущего раздела).
  • Введение налога на стоимость, т.к. ведет к росту фактической цены, уплачиваемой потребителем, которая равна (1+τ)р.
  • Введение субсидий оказывает влияние противоположное введение налогов. [Существуют субсидии на объем покупок, субсидии на стоимость (долевая субсидия)]
  • Аккордное налогообложение или субсидирование аналогично изменению дохода и ведет к параллельным сдвигам бюджетного ограничения.

Комбинация всего вышеперечисленногоможет приводить к появлению ломанныхбюджетных линий.

Пример1. Правительство вводит нормирующие(рационирующие) ограничения, т.е.устанавливает максимально предельныйдопустимый уровень потребления товара1 на уровне х1.

Пример 2. При превышении потребления1 товара величины х1, потребитель долженплатить налог в размере t с каждой единицы товара.

Пример3. На первом рисунке показан долевойналог, начинающий действовать сопределенного уровня потребления товара1.

Если потребитель покупает товар 1 вколичестве большем чем отмечено пунктиромна графике, то количество сверхустановленного предела покупается поболее высокой цене из-за взимания данногоналога. Пример 4.

На втором рисунке,потребитель может получить часть блага1 бесплатно (в качестве натуральнойсубсидии)

Источник: https://gigabaza.ru/doc/32683.html

Билет 4

Монотонноепреобразованиефункцииполезности.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 11Следующая ⇒

Кривые безразличия. Полезность. Функция полезности Кобба-Дугласа. Монотонные преобразования функций полезности

Кривая безразличия – множество наборов товаров одинаковой полезности.

Взяв другие возможные сочетания благ, соответствующие различным величинам совокупной полезности, можно составить карту безразличия. Карта безразличия — совокупность кривых безразличия, соответствующих различным уровням полезности для одного потребителя и одной пары благ.

Зона замещения (субституции) — участок кривой безразличия, на котором возможна эффективная замена одного блага другим.

Предельная норма замещения — кол-во одного блага, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу другого блага.

, где MRS – предельная норма замещения, Qx — количество това­ра X; QY — количество товара Y.

Свойства стандартных кривых безразличия:

§ Кривая безразличия является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

§ Для любого заданного уровня полезности может быть проведена своя кривая безразличия, отражающая различные комбинации двух товаров, обеспечивающих потребителю одинаковый уровень удовлетворения.

§ Кривые безразличия описывающие поведение одного потребителя никогда не пересекаются.

Особые виды кривых безразличия:

1) Описывает совершенные заменители (субституты) – если потребитель готов заместить один товар другим, в постоянной пропорции (безразличен цвет, главное кол-во).

MRS=const (например: отдельные группы товаров конкурирующих производителей)

2) Совершенные дополняющие товары (комплименты)

В эту группу входят товары и услуги, потребляющиеся всегда вместе и в строго фиксированных пропорциях.

MRS=0, так как данные блага не могут замещаться.

3) Антиблага (нежелательный товар) – те товары, которые потребитель активно не любит, но без которых в силу каких-то причин не может обойтись.

Степень удовлетворения потребителя и его оценка полезности будет тем выше, чем в меньших количествах нежелательный товар будет присутствовать в наборе.

4) Безразличное благо (нейтральный товар) – товар с абсолютно бесполезной, с точки зрения потребителя, но дешевой нагрузкой.

В этом случае количество нагрузки не будет оказывать влияния на покупку основного товара. Более высокому уровню удовлетворения соответствуют кривые, лежащие правее по оси Q1.

Полезность блага – его способность удовлетворять каким-либо потребностям человека или общества.

Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются бóльшие численные значения, чем менее предпочитаемым.

Использование функции полезности позволяет ранжировать различные товарные наборы.

Монотонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.

С функцией полезности можно проводить любое монотонное преобразование, то есть можно умножить на константу, вычитать её, возводить в положительную степень.

Если функция F является строго возрастающей функцией (т.е. F'u>0), а функция U(X) представляет некоторое предпочтение, то тогда F(U(X)) будет представлять точно такие же предпочтения, т.к. F(U(X))≥F(U(Y)) ↔ U(X) ≥ U(Y) ↔ X ÊY.

Виды функции полезности:

1. Кобба-Дугласа — независимые товары, в том числе агрегаты (еда, одежда, жилье и т.д.) то полезность x>y, где A, >0

Изменение цены одного товара не влияет на спрос другого.

Если одного товара нет, то U=0.

Впервые была предложена Кнутом Викселем, но проверена лишь в 1928 г. американскими экономистами Чарльзом Коббом иПолом Дугласом.

Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики в целом.

В частности, даже в тех случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Date: 2016-02-19; view: 320; Нарушение авторских прав

Источник: https://mydocx.ru/10-91155.html

Построение функции полезности

Монотонноепреобразованиефункцииполезности.

Однако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способ приписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, имеется некое ранжирование предпочтений.

Всегда ли можно найти функцию полезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в каком располагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, описывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?

Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции полезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида нетранзитивны, так что AfBfCfA.

Тогда функция полезности, соответствующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел u(A), u(B) и u(C) таких, что u(A) > u(B) > u(C) > u(A). Но это невозможно.

Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде нетранзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можно найти некую функцию полезности, которая бы представляла данные предпочтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами, рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.

Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2. Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безразличия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответствие бóльшие числа. Как это можно сделать?

Рис. 4.2 Построение функции полезности на основе кривых безразличия. Нарисуйте диагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, соответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдоль этой линии.

Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисунке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим ее расстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.

Откуда мы знаем, что в результате этого получим функцию полезности? Нетрудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий через начало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности один раз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы, находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются бóльшими числами, а только это и требуется, чтобы построить функцию полезности.

Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по крайней мере для случая монотонных предпочтений. Данный способ не всегда будет самым подходящим для любого заданного случая, но он показывает достаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полезности: “разумные” предпочтения почти любого вида можно представить с помощью функции полезности.

4.3. Некоторые примеры функций полезности

В гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров предпочтений и представляющих их кривых безразличия. Эти предпочтения можно представить также с помощью функций полезности.

Если дана функция полезности u(x1, x2), нарисовать соответствующие кривые безразличия сравнительно несложно: надо нанести на график все точки (x1, x2), для которых u(x1, x2) постоянна.

В математике множество всех (x1, x2), для которых u(x1, x2) постоянна, называется упорядоченным множеством. Для каждого другого значения константы мы получаем другую кривую безразличия.

ПРИМЕР: Кривые безразличия,

получаемые на основе функции полезности

Предположим, что функция полезности имеет вид: u(x1, x2) = x1x2.

Как выглядят тогда кривые безразличия? Нам известно, что типичная кривая безразличия есть просто множество всех x1 и x2, таких, что k = x1x2 для некой константы k.

Выразив x2 как функцию от x1, мы видим, что типичной кривой безразличия в данном случае будет соответствовать формула:

Эта кривая изображена на рис. 4.3 для k = 1, 2, 3...

Кривые безразличия. Кривые безразличия k = x1x2 для любых значений k. Рис. 4.3

Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезности вида Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стандартным правилам алгебры:

Иными словами, функция полезности v(x1, x2) есть просто квадрат функции полезности u(x1, x2).

Поскольку u(x1, x2) не может быть отрицательной величиной, отсюда следует, что v(x1, x2) является монотонным преобразованием исходной функции полезности u(x1, x2).

Это означает, что функции полезности должны соответствовать кривые безразличия в точности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кривых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозначениями 1, 4, 9, …

, но множество наборов, имеющее полезность v(x1, x2) = 9, в точности такое же, что и множество наборов, имеющее полезность v(x1, x2) = 3. Следовательно, v(x1, x2) описывает в точности те же предпочтения, что и u(x1, x2), поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.

Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этого можно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический.

Исходя из заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая принимала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписывала бы бóльшие численные значения более высоким кривым безразличия.

Второй способ — несколько более интуитивный. Исходя из описания предпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится максимизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потребительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ может показаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров его смысл станет понятнее.

Совершенные субституты

Помните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя имело значение только общее число карандашей. Таким образом, вполне естественно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предварительно выберем функцию полезности вида u(x1, x2) = x1 + x2.

Подойдет ли она? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полезности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия? Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитаемым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительный ответ, перед нами — функция полезности.

Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мы могли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использоватьквадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезности тоже представляет предпочтения для случая совершенных субститутов, как, впрочем, и любая другая функция, являющаяся монотонным преобразованием функции u(x1, x2).

Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении, отличном от соотношения “один к одному”? Предположим, например, что потребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказ от одной единицы товара 1.

Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для потребителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает вид u(x1, x2) = 2x1 + x2.

Заметьте, что эта функция полезности дает кривые безразличия с наклоном –2.

Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можно представить функцией вида

u(x1, x2) = ax1 + bx2.

Здесь a и b — некие положительные числа, измеряющие “ценность” товаров 1 и 2 для потребителя. Обратите внимание на то, что наклон типичной кривой безразличия задан — a/b.

Совершенные комплементы

Это случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого рода потребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому естественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности.

Число имеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у вас правых x1 и левых x2 башмаков.

В соответствии с этим функция полезности для совершенных комплементов принимает вид u(x1, x2) = min{x1, x2}.

Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит в данном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10). Добавив еще одну единицу товара 1, получаем набор (11, 10), потребляя который, мы должны были бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, поскольку min{10, 10} = min{11, 10} = 10.

Итак, u(x1, x2) = min{x1, x2} — функция полезности, с помощью которой можно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдет и любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной .

Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товары не в пропорции “один к одному”? Например, как насчет потребителя, всегда потребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если x1 — число имеющихся чашек чая, а x2 — число имеющихся ложек сахара, то число должным образом чашек подслащенного чая составит

Это несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим об этом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложек сахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара. В этом случае у нас в итоге окажется только чашек должным образом подслащенного чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо x1 и x2 какие-нибудь числа.)

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функцией, которая является монотонным преобразованием указанной функции полезности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться от дроби. В результате этого получим функцию полезности u(x1, x2) = min{2x1, x2}.

Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая совершенных комплементов, имеет вид

u(x1, x2) = min{ax1, bx2},

где a и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых потребляются товары.

Квазилинейные предпочтения

Перед нами форма кривых безразличия, с которой мы раньше не сталкивались. Предположим, что кривые безразличия потребителя представляют собой, как на рис. 4.4, вертикальные смещения одной кривой по отношению к другой. Это означает, что все кривые безразличия являются просто вертикально “смещенными” копиями одной и той же кривой безразличия.

Отсюда следует, что уравнение кривой безразличия принимает вид x2 = kv(x1), где k — константа, имеющая для каждой кривой безразличия свои значения. Чем больше значения k, тем выше располагаются кривые безразличия. (Знак “минус” здесь — не более, чем условность; почему он удобен, мы увидим ниже.

)

В этой ситуации вполне естественным является ранжирование кривых безразличия по k, или по “высоте” вдоль вертикальной оси. Выразив k и приравняв его к полезности, получаем

u(x1, x2) = k = v(x1) + x2.

В данном случае функция полезности линейна по товару 2, но нелинейна (возможно) по товару 1; отсюда и название квазилинейная, означающее частично линейную полезность.

Конкретные примеры квазилинейной функции полезности: или u(x1, x2) = lnx1 + x2.

Квазилинейные функции полезности не особенно реалистичны, но с ними легко работать, в чем мы убедимся на нескольких примерах, рассматриваемых далее в этой книге.

Предпочтения Кобба — Дугласа

Другая широко используемая функция полезности — функция полезности Кобба — Дугласа:

где c и d — положительные числа, описывающие предпочтения потребителя.

Квазилинейные предпочтения. Каждая кривая безразличия есть вертикально смещенная копия одной-единственной кривой безразличия. Рис. 4.4

Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотрении нескольких примеров. Предпочтения, представленные функцией полезности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых безразличия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.

5A изображены кривые безразличия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5B соответственно для c = 1/5, d = 4/5. Обратите внимание на то, что разные значения параметров c и d обусловливают различие форм кривых безразличия.

A c = 1/2 d = 1/2B c = 1/5 d = 4/5

Кривые безразличия Кобба — Дугласа. На рис.A показан случай c = 1/2, d = 1/2, а на рис.B — случай c = 1/5, d = 4/5. Рис. 4.5

Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, как симпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия, которые в гл.3 мы называли стандартными кривыми безразличия.

Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с виду кривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, пожалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартным предпочтениям.

Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезными для представления на алгебраических примерах некоторых экономических идей, которые мы рассмотрим позднее.

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть представлены и с помощью функции, являющейся монотонным преобразованием функции полезности Кобба — Дугласа, и пару примеров таких преобразований стоит рассмотреть.

Во-первых, если взять натуральный логарифм полезности, то произведение членов превратится в сумму, так что:

Кривые безразличия для этой функции полезности будут выглядеть совершенно так же, как и для первой функции Кобба — Дугласа, поскольку логарифмирование — это монотонное преобразование. (Краткий обзор натуральных логарифмов вы найдете в математическом приложении в конце книги.)

В качестве второго примера предположим, что вначале у нас была функция Кобба — Дугласа вида

Возведя полезность в степень 1/(c + d), получим:

Определим новый член:

Теперь можно записать нашу функцию полезности как

Это означает, что всегда можно произвести такое монотонное преобразование функции полезности Кобба — Дугласа, при котором сумма показателей степени станет равной 1. Позднее станет ясно, что этот факт может иметь полезную интерпретацию.

Функция полезности Кобба — Дугласа может быть представлена различными способами; следует научиться их распознавать, так как данное семейство предпочтений очень полезно для использования в качестве примеров.

Предельная полезность

Перед нами потребитель, потребляющий некий товарный набор (x1, x2). Как изменится полезность для этого потребителя, если дать ему чуть больше товара 1? Это отношение изменений называется предельной полезностью товара 1. Обозначим ее MU1 и будем представлять ее как отношение

показывающее изменение полезности (DU) в связи с малым изменением количества товара 1 (Dx1). Обратите внимание на то, что количество товара 2 в этих расчетах считается постоянным.

Данным определением подразумевается, что для расчета изменения полезности в связи с малым изменением потребления товара 1 мы можем просто умножить изменение потребления на предельную полезность товара:

DU = MU1Dx1.

Подобным же образом определяется и предельная полезность товара 2:

Обратите внимание на то, что, подсчитывая предельную полезность товара 2, мы сохраняем количество товара 1 постоянным. Можно подсчитать изменение полезности в связи с изменением потребления товара 2 по формуле

DU = MU2Dx2.

Важно понять, что величина предельной полезности зависит от величины полезности. Следовательно, она зависит от конкретного способа, который мы выбираем для измерения полезности. Если бы мы умножили полезность на 2, предельная полезность также оказалась бы умноженной на 2. Мы по-прежнему располагали бы во всех отношениях подходящей функцией полезности, имеющей, однако, просто другой масштаб.

Сказанное означает, что сама по себе предельная полезность не зависит от поведения потребителя. Можем ли мы каким-то образом рассчитать предельную полезность исходя из потребительского выбора? Не можем.

Потребительский выбор лишь выявляет информацию о том, как потребитель ранжирует разные товарные наборы. Предельная полезность зависит от конкретной функции полезности, используемой для отображения ранжирования предпочтений, и ее величина не имеет особого значения.

Оказывается, однако, как мы увидим далее, предельную полезность можно использовать для подсчета чего-то, что лишено поведенческого содержания.

Предельная полезность и MRS

Функцию полезности u(x1, x2) можно использовать для измерения предельной нормы замещения (MRS), определение которой дано в гл.3. Вспомним, что MRS измеряет наклон кривой безразличия в точке, соответствующей данному товарному набору ; ее можно трактовать как пропорцию, в которой потребитель хотел бы заместить товар 2 малым количеством товара 1.

Эта трактовка дает нам простой способ подсчета MRS. Рассмотрим те изменения потребления каждого товара (Dx1, Dx2), при которых полезность остается постоянной, т.е. те изменения потребления, при которых мы перемещаемся вдоль данной кривой безразличия. В этом случае должно соблюдаться равенство

MU1Dx1 + MU2Dx2 = DU = 0.

Выразив из этого равенства наклон кривой безразличия, получим

(4.1)

(Обратите внимание на то, что в левой части уравнения у нас стоит 2 в числителе и 1 в знаменателе, а в правой части уравнения — наоборот. Не перепутайте!)

Алгебраический знак MRS отрицателен: чтобы получить больше товара 1, сохранив при этом ту же самую полезность, вам придется примириться с меньшим потреблением товара 2.

Очень утомительно, однако, все время следить за тем, чтобы не потерять этот докучливый знак “минус”, поэтому экономисты часто говорят об абсолютной величине MRS, т.е. об MRS как о положительном числе.

Мы будем придерживаться этой условности до тех пор, пока из-за этого не возникнет путаницы.

Отметим интересный момент в отношении подсчетов MRS: MRS можно измерить, наблюдая фактическое поведение индивида: мы находим, как описано в гл. 3, ту пропорцию обмена благ, при которой он просто хочет остаться в данной точке кривой безразличия.

Функция полезности и, следовательно, функция предельной полезности определяются не единственным образом. Любое монотонное преобразование какой-либо функции полезности даст еще одну, в равной мере корректную, функцию полезности.

Так, например, при умножении полезности на 2, предельная полезность умножается на 2. Таким образом, значение функции предельной полезности зависит от выбора функции полезности, являющегося произвольным.

Оно зависит не от одного лишь поведения как такового, а от функции полезности, используемой для описания этого поведения.

Но отношение предельных полезностей дает величину наблюдаемую, а именно предельную норму замещения. Отношение предельных полезностей не зависит от конкретного преобразования выбранной функции полезности. Посмотрите, что произойдет, если умножить полезность на 2. MRS примет вид

“Двойки” просто сокращаются, и MRS остается без изменений.

То же самое происходит в случае любого монотонного преобразования функции полезности.

Произвести монотонное преобразование означает просто переобозначить кривые безразличия, а в описанном выше расчете MRS речь идет о движении вдоль данной кривой безразличия.

Хотя предельные полезности в ходе монотонных преобразований и изменяются, отношение предельных полезностей не зависит от конкретного способа, избранного для представления предпочтений.

Источник: https://cyberpedia.su/17xbfd3.html

Монотонные функции полезности – Энциклопедия по экономике

Монотонноепреобразованиефункцииполезности.
[c.585]

Что произойдет, если функцию полезности и(Х) заменить равносильной ей функцией ц (Х) Отношение предпочтения сохранится, если и Х) = = ф (и(Х)), где (р (и) — монотонно возрастающая функция. Правило дифференцирования сложной функция позволяет утверждать, что
 [c.600]

Мы предполагаем, что функция полезности [/( g. j) монотонно возрастающая, строго вогнутая и всюду дифференцируемая.
 [c.153]

Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи (х,°,д 0) сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности ы(х,,л ).

Поскольку значение (х,0 0) было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным).

Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы.

Отметим, что свойство 1) должно присутствовать у любой функции полезности свойства 2) и 3) могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотрите это самостоятельно на примере функции uix xj x x., . Последнее важно для иллюстрации того
 [c.140]

Каждый из игроков имеет свою функцию полезности, заданную на наборе товаров Л,(х,,х2), А2(х,,х,) предполагается, что эти функции непрерывны и монотонны по каждой из переменных и выпуклы.

В начале игры в экономике имеется общее количество Л, первого товара и А, – второго товара.

Предположим, что это начальное количество благ как-то распределено между игроками 1-й Игрок обладает количеством X, первого товара и Л – второго, 2-й Игрок – количествами А2. и А2, 1-го и 2-го товаров соответственно, так что
 [c.234]

Опишем модель с одним страхователем и одним страховщиком [18]. Пусть страхователь не склонен к риску и имеет строго монотонно возрастающую непрерывно дифференцируемую вогнутую функцию полезности м(-), а страховщик нейтрален к риску и имеет линейную функцию полезности.
 [c.39]

Легко видеть, что тах возрастает по р и х2 и вогнута по х2. Содержательные интерпретации такой монотонности очевидны. Если страхователь нейтрален к риску, то тах = 0, то есть страховщик не может получить прибыль от заключения страхового контракта со страхователем, который также как и он сам относится к риску. Если функция полезности страхователя строго вогнута, то значение тах
 [c.45]

Заданная таким образом функция и(х) является функцией полезности. Пусть х1 > х2. По построению xl и(х ) и ж2 и(ж2)1. Значит, xl > ж2 тогда и только тогда, когда (ж > и(ж2)1. Но из строгой монотонности и(х1)1 > ы(ж2)1 тогда и только тогда, когда и(х м(ж2).
 [c.36]

Функция полезности и(х) является строго монотонной. Пусть х1 = ж2 и х х2. Тогда из строгой монотонности предпочтений xl >- ж2. Отсюда следует, что (ж >- ы(ж2)1. Поэтому и(х1) > м(ж2).
 [c.36]

Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонно представляемое ею отношение предпочтения.
 [c.40]

Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна, то в экономике не будет взаимодополняемых товаров
 [c.89]

Пусть функция ы(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, v(.) — соответствующая непрямая функция полезности.
 [c.101]

Замечание На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преобразована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Монотонное преобразование функции полезности не меняет предпочтений потребителя.

Так, например, функция ы(ж, у) =ху и ее логарифм 1п(ы(ж, у)) = 1п(ж) + 1п(у) задают одни и те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы Куна — Таккера.

Следовательно, допускает его и первая, приводимая к вогнутой.
 [c.158]

Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми функциями полезности, заданными на R+, и строго положительными общесистемными запасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два угла ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит ровно одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка вос-
 [c.188]

Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго монотонной дифференцируемой функцией полезности  [c.190]

При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена (с т потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтениями, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распределение, состоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие При каких ценах  [c.206]

Эта функция очень удобна, поскольку она соответствует также и предпосылкам о строгой монотонности и строгой выпуклости отношения предпочтения. Свойство строгой монотонности требует, чтобы функция полезности была возрастающей по каждому из аргументов  [c.10]

Каждая следующая кривая безразличия, проходящая дальше от начала координат, отражает большую величину полезности, чем предыдущая. Это свойство связано с предпосылкой о строгой монотонности отношения предпочтения.

Последняя подразумевает, что функция полезности является строго возрастающей. Отсюда каждая кривая безразличия, расположенная выше, показывает и более высокий уровень полезности. Так, на рис. 1.

5 Ul < U2 < t/3 < С/4, что соответствует сечениям  [c.12]

Монотонное преобразование функции полезности.
 [c.16]

Монотонное преобразование функции полезности – это новая функция полезности, которая точно также описывает предпочтения потребителя (то есть показывает более или менее предпочтителен тот или иной набор благ), как и первоначальная функция полезности. Пусть, например, существует отношение предпочтения х>у (х,у Х). Тогда функция полезности U, по определению, должна отражать это предпочтение следующим образом t/(x) > U(y ). Однако, если
 [c.16]

Монопсоническая власть (сила) 207 Монопсония 207 Монотонная функция 207 Монотонное преобразование 207 Монотонные функции полезности 380 Монте-Карло метод (метод статистических испытаний) 195 Морфологический анализ 207 Мощность аклератора 14 Мощность кода 146 Мультиколлинеарность 207 Мультимодальное распределение 202 Мультипликативная форма представления
 [c.475]

Из табл. 2 легко увидеть важнейшее различие между кардиналистским и ординалис-тским подходами.

Функция порядковой полезности, в противоположность количественной, позволяет лишь судить о том, какой из наборов товаров предпочтительнее, и отнюдь не дает возможности оценивать и сравнивать разницу в полезности наборов (насколько один набор предпочтительнее другого), что, кстати, и делает бессмысленным при орди-налистском подходе понятие предельной полезности. Вообще говоря, если U(X)—ординалистская функция полезности, a T(U) — любая монотонно возрастающая функция, то функция вида
 [c.56]

Числовой характеристикой предпочтений людей на множестве альтернатив, зависящих от случайных величин, выступает полезность.

Если обозначить х – альтернативу (например, размер денежного выигрыша в лотерее), м(-) – функцию полезности, определенную на множестве альтернатив, то люди, нейтральные к риску, имеют линейные функции полезности (и = onst > 0, и” = 0 полезность определяется с точностью до монотонного линейного преобразования), склонные к риску – выпуклые (и > 0, и” > 0), а несклонные – вогнутые (и > 0, и ” < 0 функции полезности.  [c.23]

Как мы выяснили в предыдущем параграфе, функции переводящиеся друг в друга монотонно возрастающим преобразованием эквивалентны с точки зрения упорядочивания потребительских наборов.

В связи с этим, естественно возникает вопрос о том, какие свойства функции полезности, помимо ранжировки потребительских наборов, сохраняются при трансформации функции полезности.

Естественно ожидать, в силу того, что мы действуем на функцию полезности монотонно возрастающим преобразованием, сохранения свойств монотонности, строгой монотонности и локальной ненасыщаемости. Вопрос же о сохранении свойств вогнутости и квазивогнутости функции полезности не так очевиден.
 [c.45]

Опираясь, на приведенную в прошлом параграфе схему доказательства существования функции полезности представляющей строго монотонные предпочтения легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения.

Особенностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно тому, что кривые Энгеля27 являются лучами, выходящими из начала координат.

Кроме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности и выпуклости, система неоклассических предпочтений допускает представление во-
 [c.47]

Итак, к данному моменту отталкиваясь от нескольких достаточно разумных аксиом о свойствах индивидуальных предпочтений, были получены достаточные условия существования функции полезности и рассмотрены условия на предпочтения, гарантирующие такие ее естественные свойства как монотонность, квазивогнутость и т.д. Тем самым, был описан способ, которым потребитель упорядочивает потребительские наборы из множества допустимых альтернатив. Для того чтобы перейти к анализу выбора потребителя осталось рассмотреть дополнительные ограничения на альтернативы, которые совместно с
 [c.48]

Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной.
 [c.50]

Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R+, представимые следующими функциями полезности  [c.52]

Очевидно, что матрица Н отрицательно определена. Таким образом, функция полезности и(х) является вогнутой. Также отметим, что и(х) – монотонна. Тем самым, мы подпадаем под условия теоремы Куна-Таккера и условия дополняющей нежесткости являются достаточными условиями оптимальности.
 [c.64]

Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица Н не вырожденная. Предположим противное. Тогда существует такой вектор у и число z, такие, что Ну + Уи(ж)т z = О и Уи(ж)т/=0, где (у, г) 0. Пусть т/=0, а г О, то Уы(ж) = 0. Это противоречит доказанному ранее свойству существования такого блага г, что ы/(ж(р,Д)) > 0.

Пусть теперь т/ 0, тогда у Ну + 7/тУи(ж)Т г = у Ну = 0 и Уи(ж)т/=0, что противоречит свойству сильной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица Н не вырождена. И, тем самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа X являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу.

В силу определения непрямой функции полезности v(p, К)= и(х(р, Д)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, ж)) = и(х).

С учетом монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов по ценам.

Наконец, в силу соотношения ж(р, е(р1 ж)) = /г(р, ж), непрерывной дифференцируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам.
 [c.81]

Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности Неймана-Моргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции полезности, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнутостью.
 [c.291]

Источник: https://economy-ru.info/info/20362/

Book for ucheba
Добавить комментарий