Некорректные задачи

Корректные и некорректные задачи

Некорректные задачи

Корректные и некорректные задачи, классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u).

Задача называется корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи); 3) решение устойчиво.

  Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

  Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи.

  Третье условие заключается в следующем.

Если u1 и u2 — два различных набора исходных данных, мера уклонения которых друг от друга достаточно мала, то мера уклонения решений z1 = R (u1) и z2 = R (u2) меньше любой наперёд заданной меры точности.

При этом предполагается, что в многообразии U = {u} допустимых исходных данных и в многообразии возможных решений Z = {z} установлено понятие меры уклонения (или меры близости) r(u1, u2) и r*(z1, z2).

Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

  Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными).

  Внимание к корректности задач было привлечено французским математиком Ж. Адамаром в связи с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых задач таких уравнений.

  Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости.

Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач.

Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

  Понятия приближённого решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения z = R (u) корректной задачи можно брать точное её решение  с приближёнными исходными данными , т. к.

 для любой точности e приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует такая точность d(e) исходных данных, что, если , то . Для некорректных задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать в качестве приближённого решения.

Однако задание приближённых исходных данных в естественных науках может быть охарактеризовано не только исходным элементом , но и мерой его точности d. Т. о., для определения приближённого решения имеется не только элемент , но и параметр d.

Понятие приближённого решения задачи z = R (u) вводится с помощью т. н. параметрического оператора Rd(u), зависящего от параметра d и называемого регуляризирующим (или исправляющим) оператором.

Если оператор Rd(u) определён для всех d >0 и всех , входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R (u), то для любой заданной точности e существует (хотя бы в принципе) такое d(e), что для любого элемента  решение  уклоняется от z меньше, чем на заданную точность e, т. е. .

  Т. о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего оператора , который определяет устойчивое приближение к z.

Примером некорректной классической математической задачи может служить задача приближённого дифференцирования при определённых (практически важных) мерах точности задания z и u.

Именно, некорректной будет задача о нахождении равномерного приближения  к z по равномерному приближению  к u, т. к.

 здесь не выполнено первое условие корректности: не для всякой функции  такой, что  существует производная , а также не выполняется третье условие корректности: если даже существует производная , то из неравенства  не следует близость производных  и u'(х).

Однако в качестве регуляризирующего оператора можно взять  при h >> d. Этот оператор определён для всех  независимо от их дифференцируемости и в ограниченном промежутке даёт равномерное приближение для всякой непрерывно дифференцируемой функции u (х).

Можно привести много др.

примеров классических математических задач, являющихся некорректными при совершенно естественном выборе понятий меры точности как для исходных данных задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование рядов Фурье; большое число краевых задач для уравнении с частными производными.

  Обширный класс некорректно поставленных задач в естествознании составляют задачи обработки наблюдений без дополнительной (количественной) информации о свойствах решений.

Если изучается объект, количественные характеристики z которого недоступны для прямого изучения, то обычно исследуются некоторые проявления этого объекта u, функционально зависящие от z. Задача обработки наблюдений состоит в решении «обратной задачи», т. е.

в определении характеристики z объекта по результатам наблюдений u; при этом u задаётся приближённо.

  Имеется много работ (особенно советских математиков), посвященные методам приближённого решения некорректно поставленных задач и их применений к решению обратных задач. Эти работы имеют важное значение для автоматизации обработки наблюдений, для решения проблем управления и т. д.

  Лит.: Тихонов Д. Н., Об устойчивости обратных задач, «Доклады АН СССР», 1943, т. 39, № 5; его же, О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, там же, 1963, т. 151, № 3; Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962.

  А. Н. Тихонов.

Оглавление БСЭ

Источник: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/064/938.htm

§ 2. Некорректные задачи

Некорректные задачи

Макеты страниц

Если в интегральном уравнении (1) правая часть не зависит от решения, т. е. и входит только под знак интеграла, то задача оказывается некорректно поставленной. Классическими примерами некорректных задач Являются уравнение Фредгольма первого рода:

и уравнение Вольтерра первого рода:

В отличие от уравнений второго рода, ядро уравнения Фредгольма (33) задано на прямоугольнике а в уравнении Вольтерра (34) на трапеции причем функции и определены на разных отрезках и принадлежат разным классам функций U и

Покажем, что задача (33) неустойчива по правой части и, тем самым, некорректна. Для этого рассмотрим высокочастотное возмущение с конечной амплитудой бы (Е) Ему соответствует возмущение правой части

Интегрируя по частям, получим

Это означает, что для достаточно больших частот величина оказывается сколь угодно малой. Следовательно, существуют такие сколь угодно малые возмущения правой части которым соответствуют большие возмущения решения т. е. задача (33) неустойчива.

Для уравнения Вольтерра (34) справедливы те же рассуждения. Напомним, что в главе III мы уже сталкивались с некорректностью задачи численного дифференцирования функции эта задача сводится к решению уравнения

т. е. является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода, с ядром (при ).

Кроме того, задачи (33), (34) имеют решение не при любых непрерывных правых частях . Так, задача (36) имеет решение только для дифференцируемых Другим примером служит уравнение (33) с вырожденным ядром; подставляя в это уравнение выражение для ядра (25), получим

Это равенство выполнимо для таких которые представимы в виде линейной комбинации функций для других правых частей задача (33) не имеет решения.

В обоих этих примерах, даже если при некоторой существует решение, имеются такие малые изменения правой части при которых решение не существует.

Очевидно, непосредственно решать некорректные задачи при неточно заданной правой части бессмысленно. Если задана с погрешностью , то соответствующее решение или не существует, или отличается от искомого решения на величину , которая может быть большой.

Даже если задана точно, ко отыскание решения выполняется численными методами, то неизбежно вносятся погрешности метода и округления. Это снова приводит к большой погрешности решения бы

Регуляризирующий алгоритм. Пусть требуется найти решение и некорректно поставленной задачи:

Здесь — некоторый оператор, не обязательно интегральный, a U и F — нормированные пространства. Предполагается, что для произвольной решение задачи (38) может не существовать; однако имеются некоторые для которых существуют решения

Ранее, изучая разрывные решения квазилинейных уравнений, мы вводили в исследуемое уравнение дополнительные члены, изменяющие свойства решений в нужную нам сторону. Попробуем и здесь изменить уравнение (38), введя в него дополнительные члены с малым положительным параметром регуляризации а. Символически запишем измененную задачу:

а ее решение обозначим через

Определение. Оператор называют регуляризирующим, если а) задача (39) является корректно поставленной в классе правых частей F при любом (не. слишком большом) существуют такие функции и что если , то .

Замечание. Функции и зависят также от

Таким образом, если найден регуляризирующий оператор то задача (39) имеет решение при любых в том числе отличающихся от на любого вида погрешность эта задача устойчива, так что ее можно решать обычными численными методами. При правильно подобранном параметре а ее решение на (I) достаточно мало отличается от нужного нам решения исходной задачи (38).

Для одной и той же задачи можно построить много различных регуляризирующих алгоритмов. Кроме того, при заданном пространстве F разные алгоритмы могут давать решения на принадлежащим различным пространствам U.

Различают регуляризацию слабую (U есть гильбертово пространство), сильную (чебы-шевское пространство) и порядка гладкости (пространство О)

Молено формально превратить задачу (38) в корректно поставленную, если ограничиться рассмотрением правых частей принадлежащих некоторому более узкому классу . Например, для задачи численного дифференцирования (36) в качестве возьмем пространство . Малость означает, что невелик; поэтому такой вариации правой части соответствует малая вариация

Однако такой подход не конструктивен. Зачастую содержит заметную погрешность, например, она может быть экспериментально определяемой величиной. Поэтому постановки большинства прикладных задач таковы, что в качестве F приходится выбирать чебышевское или даже гильбертово пространство, причем решение и необходимо получить в чебышевской пространстве.

Источник: http://scask.ru/q_book_dig_m.php?id=199

Некорректные задачи – это… что такое некорректные задачи?

Некорректные задачи

точнее – некорректно поставленные задачи,- задачи, для к-рых не удовлетворяется хотя бы одно из приводимых ниже условий, характеризующих корректно поставленные задачи [короче – корректные задачи (к. з.)].

Задача определения решения из метрич. пространства Z(с расстоянием ( , )) по “исходным данным”из метрич. пространства U(с расстоянием ( , ) ) наз.

корректно поставленной на паре пространств (Z, U), если: а) для всякого существует решение ;

б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах , что означает: для всякого существует такое что для любых из неравенства следует неравенство

Понятие к. з. принадлежит Ж. Адамару (J. Hadamard, 1923), высказавшему точку зрения, что всякая математич. задача, соответствующая какой-либо физич. или технич. задаче, должна быть корректной. В самом деле, какую физич.

интерпретацию может иметь решение, если как угодно малым изменениям исходных данных могут соответствовать большие изменения решения? К таким задачам затруднительно применять приближенные методы решения.

Это поставило под сомнение целесообразность изучения Н. з.

Однако такая точка зрения, естественная в применении к нек-рым явлениям, развивающимся во времени, не может быть перенесена на все задачи. В самом деле, неустойчивыми в метрике С, а следовательно и Н. з.

, являются задачи: решения интегральных уравнений 1-го рода; дифференцирования функций, известных приближенно; численного суммирования рядов Фурье, когда их коэффициенты известны приближенно в метрике ; задача Коши для уравнения Лапласа; задача аналитич. родолжения функций; обратные задачи гравиметрии.

Некорректными являются также задачи решения систем линейных алгебраич.

уравнений в условиях равного нулю определителя системы (а также плохо обусловленные системы); минимизации функционалов, имеющих несходящиеся минимизирующие последовательности; нек-рые задачи линейного программирования и оптимального управления; проектирования оптимальных систем, конструкций (синтез антенн и других физич. систем); задачи об управлении объектами, описываемые дифференциальными уравнениями (в частности, дифференциальные игры). К перечисленным задачам приводят самые различные физич. и технич. проблемы (см. [7]).

К Н. з. относится широкий класс т. н. обратных задач, возникающих в физике, технике и других отраслях знаний, в частности – задачи обработки результатов физич. экспериментов.

Пусть z – количественная характеристика изучаемого явления (объекта). В физич. эксперименте часто величина z недоступна непосредственному измерению, а измеряется нек-рое ее проявление .

Для интерпретации результатов измерений необходимо определять z по и, т. е. решать уравнение вида

Задачи решения уравнений (1) часто наз. задачами распознавания образов. Задачи, приводящие к задачам минимизации функционалов (задачи синтеза антенн и других систем и конструкций, задачи оптимального управления и многие др.), наз. также задачами синтеза.

Пусть в задаче обработки результатов физич. экспериментов изучаемый объект (явление) характеризуется элементом z (функцией, вектором), принадлежащим множеству возможных решений Zметрич.

пространства Пусть недоступен для прямого измерения и измеряется его проявление – образ Zпри его отображении с помощью оператора А. Очевидно, где – оператор, обратный оператору А. Так как элемент получают путем измерений, то он бывает известен лишь приближенно.

Пусть – это приближенное значение. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближенного (к zT) “решения” уравнения

Оператор во многих случаях таков, что обратный ему оператор не является непрерывным, напр. когда – вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, в частности интегральный оператор вида

В этих условиях нельзя, следуя классич. концепциям, брать в качестве приближенного к “решения” точное решение уравнения (2), т. о.

элемент так как: а) такого решения может не существовать на Z, поскольку и ~ может не принадлежать множеству AZ;б) такое решение, если даже оно существует, не будет обладать свойством устойчивости к малым изменениям (поскольку обратный оператор не является непрерывным) и, следовательно, не может быть физически интерпретируемым. Задача (2) является Н. з.

Численные методы решения некорректных задач. Для Н. з.

вида (1) возникает вопрос: что понимается под приближенным решением таких задач? При этом необходимо так определить приближенное решение, чтобы оно было устойчивым к малым изменениям исходной информации.

Второй вопрос: каковы алгоритмы построения таких решений. Исчерпывающие ответы на эти основные вопросы впервые даны А. Н. Тихоновым (см. [1], [2]).

Метод подбора. В нек-рых случаях приближенные решения уравнений (1) находятся методом подбора. Он состоит в том, что из класса возможных решений подбирают элемент для к-рого приближает правую часть уравнения (1) с требуемой точностью. В качестве искомого приближенного решения берут элемент Возникает вопрос: когда этот метод применим, т. е. когда из неравенства

следует, что

где при . Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения (1) и при условии” что множество М- компакт (см. [3]). На основе этих соображений сформулировано понятие корректности по Тихонову, наз. также условной корректностью (см. [4]). В применении к уравнению (1) задача наз.

корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения правой части существует единственное решение уравнения (1), принадлежащее заданному компакту М.

В этом случае непрерывен на множестве М, и если вместо элемента известен элемент такой, что и , то в качестве приближенного решения уравнения (1) с правой частью можно брать элемент При будет стремиться к .

Во многих случаях приближенно известная правая часть не принадлежит множеству AM. В этих условиях уравнение (1) не имеет классич. решения. В качестве приближенного решения берется обобщенное решение, называемое квазирешением (см. [5]). Элемент минимизирующий при данном в функционал на множестве М, наз.

квазирешением уравнения (1) на М(см. [6]). Если М – компакт, то ква-знрешение существует для любого и если, кроме того,то квазирешение совпадает с классическим (точным) решением уравнения (1). Существование квазирешения гарантируется лишь при условии компактности множества возможных решений М.

Метод регуляризации.

Для ряда прикладных задач, приводящих к уравнению (1), характерна ситуация, когда множество возможных решений Zне является компактом, оператор не является непрерывным на AZ и изменения правой части уравнения (1), связанные с ее приближенным характером, могут выводить ее за пределы множества AZ.

Такие задачи наз. существенно некорректными задачами. Разработан подход к решению Н. з., позволяющий строить с помощью ЭВМ приближенные решения существенно Н. з. вида (1), устойчивые к малым изменениям исходных данных. К исходным данным задач вида (1) относится как правая часть и, так и оператор А.

В дальнейшем для простоты изложения предполагается, как правило, что оператор Аизвестен точно. В основе подхода лежит понятие регуляризирующего оператора (см. [2], [7]). Оператор из в наз.

регуляризирующим оператором для уравнения (в окрестности ), если он обладает свойствами: 1) существует такое >0, что оператор определен для всякого “,и любого такого, что 2) для всякого существует такое, что из неравенства rU(ud ,uT)

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3375/%D0%9D%D0%95%D0%9A%D0%9E%D0%A0%D0%A0%D0%95%D0%9A%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95

Book for ucheba
Добавить комментарий