Теорема Л. Эйлера о многогранниках

Урок по теме «Теорема Эйлера»

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

Урок по теме «Теорема Эйлера»

Целью данных уроков является знакомство учащихся с одним из наиболее важных свойств выпуклых многогранников — теоремой Эйлера. Эта теорема связывает вместе число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Она положила начало одному из наиболее интенсивно развивающихся в настоящее время направлений геометрии — топологии.

Проверка домашнего задания

Начинаем урок с проверки домашнего задания предыдущего урока, посвященного выпуклым многогранникам и их свойствам. Затем слушаем заранее подготовленное сообщение ученика на тему «Жизнь и творчество JI. Эйлера».

При подготовке этого сообщения можно воспользоваться следующей литературой:

  1. Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер//Квант, 1983, № 10, 11.

  2. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. —М.: Просвещение, 1983.

Новый материал

Учащимся предлагается заполнить таблицу, поставив в нее числа, соответствующие количеству вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) указанных многогранников.

Название многогранника

В

Р

Г

Треугольная пирамида

4

6

4

Четырехугольная пирамида

5

8

5

Треугольная призма

6

9

5

Четырехугольная призма

8

12

6

n-угольная пирамида

n + 1

2n

n + 1

n-угольная призма

2n

Зn

n + 2

Вопрос. Какая зависимость имеется между числом вершин, ребер и граней этих многогранников?

Ответ. Для всех выбранных многогранников имеет место равенство В – Р + Г = 2.

Оказывается, что данное равенство справедливо не только для указанных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В – Р + Г = 2, (*)

где В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней данного многогранника.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии — раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но безразрывов или дополнительных склеек.

Такие свойства называются топологическими. Соотношение Эйлера В – Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством.

Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. При этом многогранник может стать невыпуклым, тем не менее для него будет выполняться соотношение Эйлера.

Однако есть невыпуклые многогранники, для которых соотношение Эйлера не выполняется. Пример такого многогранника приведен на рисунке 1. Он получается, если в кубе вырезать дыру в форме параллелепипеда.

Учащимся предлагается самостоятельно найти число вершин, ребер и граней этого многогранника.

В результате получаем:

В = 16, Р = 32, Г = 16, В – Р + Г = 0.

Оказывается, что для выполнимости соотношения Эйлера существенным является не столько выпуклость многогранника, сколько то, что у него нет дыр. Поверхность выпуклого многогранника непрерывной деформацией можно сделать такой же, как у шара, а с поверхностью многогранника, изображенного на рисунке 1, этого сделать нельзя.

Доказательство (теоремы Эйлера). Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости.

Это можно сделать, например, с помощью центрального проектирования с центром в точке S, расположенной немного выше удаленной грани ABCDE(рис. 2).

В результате на плоскости получим сетку (рис. 3), состоящую из Г' = Г – 1 многоугольников (которые по-прежнему будем называть гранями), В вершин и Р ребер.

Рис.3

Для этой сетки нужно доказать равенство

В – Р + Г' = 1. (**)

Тогда для многогранника будет справедливо требуемое равенство (*).

Докажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали (например, EF) в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, следовательно,

В – (Р + 1) + (Г' + 1) = В – Р + Г'.

Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие входящие в нее многоугольники на треугольники, и для полученной треугольной сетки (рис. 4) покажем выполнимость соотношения (**).

Для этого будем последовательно убирать крайние треугольники. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника требуется снять одно ребро (на рис. 4 для удаления треугольника ABF требуется снять ребро АВ);

б) для удаления треугольника требуется снять два ребра (на рис. 5 для удаления треугольника BCF требуется снять ребра ВС и BF).

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника сетка будет состоять из В вершин, Р – 1 ребер и Г' 1 граней, В – (Р – 1) + (Г' 1) = В – Р + Г'.

Самостоятельно рассмотрите второй случай (рис. 6).

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношения (**). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В = 3, Р = 3, Г' = 1, следовательно,

В – Р + Г = 1.

Значит, соотношение (**) имеет место и для исходной сетки, откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедливо соотношение (*).

Решение задач

Задача 1. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. Пусть у данного многогранника будет В вершин, Р ребер и Г граней. Тогда ЗГ = 2Р, где Р = 12, значит, Г = 8. Применяем теорему Эйлера, из которой следует, что В = 2 + Р – Г. В нашем случае В = 2 +12-8 = 6. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр (рис. 7).

Задача 2. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

Решение. ЗВ = 2Р, учитывая, что Р = 12, имеем: В = 8. По теореме Эйлера

Г=2-В + Р, Г = 2- 8 + 12 = 6.

Таким образом, у данного выпуклого многогранника В = 8, Р=12иГ = 6. Примером такого многогранника является куб.

Задача 3*. Докажите, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Решение. Обозначим через Гn число граней с п ребрами. Тогда Г = Г3 + +++ … Каждая треугольная грань имеет три ребра, и число треугольных граней равно Г3. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно З Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4, и т.д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

2Р = ЗГ3++++… .

Аналогичным образом обозначим через В число вершин, в которых сходится п ребер.

Тогда В = В3 + + + В6 + …

Значит, для числа ребер (Р) будет иметь место равенство

2Р = ++++…

Воспользуемся равенством 4В – 4Р + 4Г = 8, получающимся умножением обеих частей равенства Эйлера на 4.

Имеем

4В = ++++…

4Г = 4 + 4 + 4++…

4Р = 2Р + 2Р = З+ 4, + 5 +

++…+++++…

Подставляя эти выражения в указанное равенство, получим:

В3 + Г3-(В5 + 2В6+… + Г5 + 2Г6 +…) = 8.

Из этого следует, что В3+Г3 ≥ 8, что и требовалось доказать.

В качестве приложения теоремы Эйлера рассмотрим задачу Эйлера о трех домиках и трех колодцах.

Задача 4. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Попробуем провести требуемые дорожки. На рисунке 8 показано расположение дорожек, две из которых пересекаются. Попытки провести непересекающиеся дорожки к успеху не приводят. Однако это не означает, что этого нельзя сделать.

То, что не получается у нас, может получиться у кого-нибудь другого. Если же мы предполагаем, что непересекающиеся дорожки провести нельзя, то это нужно доказать. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что это можно сделать. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем.

Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Рис.8

Эти ребра образуют на плоскости сетку, аналогичную той, которая была получена при доказательстве теоремы Эйлера.

Поэтому для числа вершин, ребер и граней этой сетки должно выполняться соотношение Эйлера В – Р+Г' — 1. Добавим к ней еще одну грань — внешнюю часть плоскости по отношению к исходному многоугольнику.

Тогда соотношение Эйлера примет вид В – Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9. Следовательно, Г должно равняться пяти.

Заметим, что поскольку дорожки не соединяют между собой никакие два домика и никакие два колодца, то у рассматриваемой сетки нет треугольных граней. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра.

Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше =10, что противоречит тому, что их число равно 9.

Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен — нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.

Задание на дом

  1. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

  2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.

  3. Гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у него вершин и ребер? Приведите пример такого многогранника.

4*. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется трехгранный, четырехгранный или пятигранный угол.

6. Можно ли четыре домика соединить непересекающимися дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодцами и каждый колодец — с тремя домиками?

Ответы и решения

  1. 4Г = 2Р, Г = 6, В = 2 + Р – Г, В = 2 + 12 – 6 = 8. Итак, В = 8, Р = 12 и Г = 6. Примером такого многогранника является куб.

  2. 4В = 2Р, В = 6, Г = 2 – В + Р, Г = 2 – 6 + 12 = 8. Итак, В = 6, Р = 12, Г = 8. Примером такого многогранника является октаэдр.

  3. ЗВ = 2Р, 5Г = 2Р. Подставляя выражения для В и Г в равенство В – Р + Г = 2, получим: — Р-Р+Р=2.

Откуда находим Р = 30, В = 20. Примером такого многогранника является додекаэдр.

4*. Имеем равенства: 2Р = ЗВ3 + 4В4 + 5В5 + 6В6 + …, 2Р = ЗГ3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6 + … Предположим, что у выпуклого многогранника нет треугольных, четырехугольных и пятиугольных граней. Тогда второе равенство можно переписать в виде 2Р = 6Г6 + …, и из него следует неравенство 2Р ≥ 6Г.

Из первого равенства следует неравенство 2Р ≥ ЗВ и, следовательно, неравенство 4Р ≥ 6В. Используя эти неравенства, получим: 6В – 6Р + 6Г ≤ 0. С другой стороны, по теореме Эйлера 6В – 6Р + 6Г = 12. Получили противоречие.

Значит, у любого выпуклого многогранника обязательно найдется треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.

5*. Решение аналогично решению задачи 4*.

6. Да.

Обводим линии

Попробуем линию, изображенную на рисунке 1, обвести одним росчерком, то есть не отрывая карандаша от листа бумаги и не проходя по одной и той же части линии более одного раза.

Рис.1

Фигура эта, такая простая на вид, оказывается, имеет интересную особенность. Если мы начнем движение из узла В, то у нас это обязательно получится. Один из вариантов обвода показан на рисунке 2.

Рис.2

А что будет, если мы начнем движение из узла А? Легко убедиться, что обвести линию в этом случае нам не удастся: у нас всегда будут оставаться не пройденные отрезки, добраться до которых уже невозможно. Две такие неудачные попытки обхода показаны на рисунках 3 и 4.

Кергнуеногу

Решите задачи 1—5:

  1. а) Удастся ли обвести линию (см. рис. 1), если начать движение из узла С? а из узла D?

б) Вы начали движение из узла В. Где вы закончите движение?

  1. Назовите все узлы линии (рис. 5), начав с которых ее можно обвести одним росчерком. Начертите в тетради линию одним росчерком, отметьте начало движения и покажите стрелками направление движения.

Рпворроллрлрлррлрлрлр

  1. На рисунке б изображена линия, которую вы, наверное, умеете рисовать одним росчерком. Это звезда. Оказывается, хотя она и выглядит значительно более сложной, чем предыдущие линии, обвести ее можно, начав с любого узла.

Рис. 6

Начертите звезду несколько раз, начиная движение из разных узлов.

  1. Линию, изображенную на рисунке 7, как и звезду, можно начертить одним росчерком, начав движение из любого узла. Вычертите эту линию дважды: начав с узла, из которого выходят два отрезка, а затем из узла, из которого выходят четыре отрезка.
  1. а)

б)

Рис.7

Источник: https://infourok.ru/urok-po-teme-teorema-eylera-444731.html

Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках. Топологически правильные и неправильные многогранники

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, назы­ваемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.

Выпуклыммногогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

Выпуклые многогранники делятся на: правильные и неправильные.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

-он выпуклый;

– все его грани являются равными правильными многоугольниками;

– в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой.

Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками.Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Существует 5 правильных многогранников:

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб –составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр –составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр –составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Додекаэдр –составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 «земными» стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «наземным» элементом – небом (додекаэдр).

Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников – теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:

«Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2» – Г+В=Р+2 (данная формула верна для любых выпуклых многогранников).

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n – угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.

По теореме Эйлера, В – Р + Г = 2 и, следовательно, 2P/m-P+2P/n=2

Откуда Р = 2nm/(2n+2m-nm).

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

n m
B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр В=6, Р=12, Г=8 октаэдр В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
В=8, Р=12, Г=4 куб Не существует Не существует
В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр Не существует Не существует

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.
Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).

Анализ учебных планов и программ по математике

школьного курса математики

Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).

Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, явл. учебная программа.

Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (нач. школа), 5-9 классах, 10-11 классах.

Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобраз. школу. Т.о., все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.

Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро.

Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.

“Ядро” современной программы по математике составляют:

1. Числовые системы. 2. Величины.

3. Уравнения и неравенства. 4. Тождественные преобразования математических выражений. 5. Координаты. 6. Функции. 7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования. 8. Векторы.

9. Начала математического анализа. 10. Основы информатики и вычислительной техники.

Каждый из вошедших в это “ядро” разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы.

Раздел “Числовые системы” изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже давно. Но с течением времени происходило снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В наст время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела – “Комплексные числа”.

Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики.

До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса.

В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.

Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.

Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.

Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии.

Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями.

Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.

Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание.

Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.

Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.

Раздел основы информатики и вычислительной техники отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику ЭВМ.

Предыдущая16171819202122232425262728293031Следующая

Дата добавления: 2015-07-30; просмотров: 9992; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/4-38447.html

Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

В школьных учебниках геометрии многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, назы­ваемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство. Пусть F – какая-нибудь грань многогранника M, и A, B – точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия вы­пуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоуголь­ника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т.е. F – выпуклый многоугольник.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство. Пусть M – выпуклый многогранник. Возьмем ка­кую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т.е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M.

Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу вы­пуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранни­ка M.

Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство. Предположим противное, т.е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таб­лицу, в которой В – число вершин, Р – ребер и Г – граней данного мно­гогранника:

Название многогранникаВРГ
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Треугольная призма
Четырехугольная призма
n-угольная пирамидаn+12nn+1
n-угольная призма2n3nn+2
n-угольная усеченная пирамида2n3nn+2

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных мно­гогранников имеет место равенство В – Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для про­извольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В – Р + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного мно­гогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала.

Удалим (вырежем) од­ну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости.

Полу­чим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*) В – Р + Г ' = 1,

где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г ' – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г '= Г – 1, где Г – число граней данного мно­гогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 5, а). Действитель­но,после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В – (Р + 1) + (Г '+1) = В – Р + Г '.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость равенства (*) (рис. 5, б). Для этого будем последо­вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников.

При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г ' – 1 многоугольника:

(В – 1) – (Р + 2) + (Г ' – 1) = В – Р + Г '.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника.

Для такого раз­биения В = 3, Р = 3, Г ' = 1 и, следовательно, B – Р + Г ' = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча­тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*).

Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В – Р + Г = 2.

Пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера, показан на рисунке 6. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Используя соотношение Эйлера, докажем, следующее свойство выпуклых многогранников.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Действительно, в каждой вершине многогранника сходится, по крайней мере, три ребра. Если количество вершин равно В и в каждой из них сходится три ребра, то общее число ребер будет больше или равно 3В : 2.

Делить на два нужно потому, что при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды – один раз, как ребро выходящее из одной его вершины, а второй раз, как ребро, выходящее из второй его вершины.

Таким образом, для любого многогранника имеет место неравенство 3В 2Р.

Обозначим через Гn число граней с n ребрами. Тогда Г = Г3 + Г4 + Г5 + Г6. Каждая треугольная грань имеет три ребра и число треугольных граней равно Г3. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно 3Г3. Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4Г4 и т. д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер, мы каждое ребро посчитаем дважды и, следовательно, будет иметь место равенство 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6.

Воспользуемся равенством 6В – 6Р + 6Г = 12, получающимся умножением обеих частей сооотношения Эйлера на 6. По доказанному выше, имеет место неравенство 6В 4Р и, следовательно, неравенство 6Г – 2Р 12. С другой стороны, 6Г = 6Г3 + 6Г4 + 6Г5 + 6Г6, 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + 6Г6.

Подставляя эти выражения в неравенство, получим неравенство 3Г3 + 2Г4 + Г5 + 0Г6 – Г7 – 12. В левой части, начиная с Г7 стоят отрицательные числа. Поэтому для того, чтобы вся сумма была больше или равна 12 нужно, чтобы хотя бы одно из чисел Г3 или Г4 или Г5 было отлично от нуля, т.е.

в многограннике существовала грань с соответствующим числом ребер.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями яв­ляются равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники.

Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 7). В каждой ее вершине сходится по три грани.

Имея всего четыре грани, этот мно­гогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 8. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 9. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не мо­жет сходиться более пяти правильныхтреугольников, то другихправиль­ных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 10), других пра­вильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не сущест­вует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 11. Его по­верхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топо­логии науки, изучающей свойсва фигур, не зависящих от различных дефор­маций без разрывов.

С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон.

Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны потой же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оста­вить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отб­росить.

В определении правильного многогранника количество сторон и коли­чество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не явля­етсятопологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически пра­вильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой. Все параллелепи­педы также являются эквивалентными между собой топологически правиль­ными многогранниками.Не являются топологи­чески правильными многогранниками, например, четырехугольныепирамиды.

Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологичес­ки правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказы­вается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n – угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трех. Обозначим, как и раньше, В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В – Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

N m
B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр  В=6, Р=12, Г=8 октаэдрВ=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
В=8, Р=12, Г=4 куб  Не существует  Не существует
В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр  Не существует  Не существует

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Самостоятельно проверьте остальные случаи.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники, перечислен­ные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания призмы) — равные многоугольники с соотвественно параллельными сторонами. Остальные грани — параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой.

Призма

Параллелограммы и т.д. называются боковыми гранями. Высотой призмы называется перпендикуляр опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого. Призма называется треугольной четырехугольной и т.д., смотря по тому, лежит ли в основании треугольник, четырехугольник и т.д.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то — призма прямая. Если нет — призма наклонная. Если в прямой призме основание — правильный многоугольник — призма правильная.

Перпендикулярное сечение призмы — это такое сечение, которое образовано плоскостью перпендикулярной к её боковому ребру.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

Пирамида, Усеченная Пирамида

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_206028_vipuklie-mnogogranniki-teorema-eylera.html

Правильные многогранники. Теорема Эйлера

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок – исследование с НРК.

Цель урока:

  • дидактическая – рассмотреть практическую направленность знаний типов правильных многогранников;
  • развивающая – развитие умений различать типы правильных многогранников; развитие умений применять полученные ЗН в решении задач путем исследования теоремы Эйлера;
  • воспитательная – показать влияние правильных многогранников на возникновение филосовский теорий; установить связь между знаниями правильных многогранников и мировоззрением народов Севера.

Оборудование:

– чертежные инструменты, – модели многогранников,

– иллюстрации к сообщениям учащихся:

  1. модель солнечной системы Кеплера,
  2. философская картина мира Платона,
  3. многогранники в мировозрении народов Севера.

План урока:

  1. Организационный момент – 1 мин.
  2. Актуализация ЗУН – 4 мин.
  3. Кубок Кеплера – 4 мин.
  4. Философская картина мира Платона – 3 мин.
  5. Мировоззрение народов Севера – 5 мин.
  6. Формула Эйлера (исследовательская работа класса) – 6 мин.
  7. Решение задачи – 9 мин.
  8. Подведение итога – 2 мин.
  9. Постановка Д/З – 1 мин.

Эпиграф:

 “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.”
Л. Кэрролл.

Ход урока

1. Организационный момент.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непроходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида, до Эйлера и Коши.

Сегодня на уроке мы расширим ваши знания о правильных многогранниках.

2. Актуализация ЗУН.

Для того, чтобы двигаться дальше нам необходимо повторить то, что мы знаем о правильных многогранниках:

– определение правильного многогранника (выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер);
– сколько существует типов правильных многогранников (5);
– назовите их (показываются модели и называются: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр);
– откуда идет их название? (Из Древней Греции и в них указывается число граней: “эдра” – грань, “тетра” – 4, “гекса” – 6, “окта” – 8, “икоса” – 20, “додека” – 12).

Обращаю ваше внимание на слова Л.

Кэрролла, которые стали эпиграфом сегодняшнего урока “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

” Именно данные слова я предлагаю положить в основу гипотезы этого урока, о том, что ученые в своих фантазиях и не очень пытались связать правильные многогранники с изучаемой наукой.

3. Кубок “Кеплера”.

Побываем в Европе XVI–XVII вв. Когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571–1630).

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов.

В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности.

Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.


Рис. 1
Модель Солнечной системы И. Кеплера

Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 1) получила название “Космического кубка” Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге “Тайна мироздания”. Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца (Приложение 1) .

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны.

Идеи Кеплера оказались ошибочными, думаю каждый из вас может доказать почему (планеты движутся по эллипсам и их 9, хотя Плутон с 2006 г. Перестал носить статус планеты), но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Но название правильных многогранников к нам пришло из Древней Греции, значит интерес к ним возник еще тогда, давайте рассмотрим.

4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим, символизировал мироздание, т.е. “все сущее”.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации (Приложение 2).

Поклонение таким стихиям можно найти и у народов Севера. Давайте рассмотрим мировоззрение эвенов и эвенков

5. Мировоззрение народов Севера.

Эвенки.

Традиционные верования – анимизм, шаманство, магия, промысловые и родовые культы.

Вселенная существует в виде трех миров: небесный, средний и подземный.

Верхний мир населяли хозяева явлений и стихий природы: ветра, грома. Верховное божество было хозяином тепла и света: Солнце в небесной юрте коптило тепло. Духи среднего мира – хозяева родовых территорий, отдельных мест, гор, тайги и воды.

Эвены.

Религиозные представления включали культ природы, промысловые культы, шаманство.

Вселенная делится на верхний, средний и нижний миры.

Божества верхнего мира помогают людям, оберегают от болезней и бед. Средний мир принадлежит духам хозяевам: хозяин земли, хозяин пресной воды и хозяин моря. Особое место занимает – хранитель семейного очага, покровитель семьи. Нижний мир населяют различные духи и божества.

Итак, получается, все народы Севера связаны общей религией, которая разделяет вселенную на три мира, связь между которыми поддерживает шаман. Человек в своей вере представлял себя частью природы, поэтому и жил в нем культ природы: вера в помощь сил ветра, грома, огня, воды и земли. (Приложение 3.)

6. Исследовательская работа “Формула Эйлера”.

А сейчас перейдем от научных гипотез и философии жизни к научным фактам.

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет. Например, в столбце “грани” казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце “вершины” нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце “рёбра” закономерности тоже не видно.

Таблица № 1.

Правильный многогранникЧисло
гранейвершинрёбер
Тетраэдр446
Куб6812
Октаэдр8612
 Додекаэдр122030
Икосаэдр201230

Таблица № 2.

Правильный многогранникЧисло
граней и вершин (Г + В)рёбер (Р)
Тетраэдр4 + 4 = 86
Куб6 + 8 = 1412
 Октаэдр8 + 6 = 1412
 Додекаэдр12 + 20 = 3230
Икосаэдр20 + 12 = 3230

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е.

Г + В = Р + 2

Итак, мы вместе “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

7. Решение задач.

Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. И найдите площадь полной поверхности этого многогранника, если все его ребра равны, ∟АВС = 900 и ДВ = 4.

Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он “подсмотрел” их у природы.

Где конкретно, узнаем с вами на следующем уроке.

8. Подведение итога.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

Что мы сегодня нового узнали о правильных многогранниках?

Смогли ли мы доказать правильность гипотезы выдвинутой в начале урока? (Применение в астрономии, философии, религии и геометрии.)

Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

Что общее характеризует правильные многогранники и любые выпуклые?

9. Постановка Д/З.

Посмотрите литературу, оглянитесь вокруг и найдите еще примеры, где нам встречаются куб и тетераэдр.

Учебник: п 35–36
№ 286, 289

28.02.2011

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/594659/

МНОГОГРАННИКИ

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА

    Обычно в школьных курсах геометрии дается следующее определение многогранника.
    Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
    При этом понятия тела и поверхности, хотя и имеют наглядный смысл, нуждаются в уточнении.

Причем их строгие определения используют основные понятия топологии: внутренняя и граничная точка, внутренность и граница, открытость, замкнутость, связность, ограниченность.

    Напомним, что окрестностью Ur(A) точки A пространства радиуса r называется фигура, стоящая из всех точек пространства, удаленных от точки A на расстояние, меньшее r. Таким образом,

Ur(A) = {B| d(A, B)< r}.

    Точка A пространства называется внутренней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, целиком содержащаяся в этой фигуре.
    Точка A пространства называется внешней точкой фигуры Ф, если у нее существует окрестность, не содержащая точек фигуры Ф, т.е.

целиком лежащая в дополнении к этой фигуре.
    Точка A пространства называется граничной точкой фигуры Ф, если она не является ни внутренней, ни граничной точкой этой фигуры, т.е. в любой ее окрестности если как точки фигуры Ф, так и точки, не принадлежащие этой фигуре.

    Внутренностью фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех внутренних точек этой фигуры.
    Фигура Ф называется открытой, если каждая ее точка является внутренней или, что то же самое, фигура Ф совпадает со своей внутренностью.

    Границей фигуры Ф называется фигура, состоящая из всех граничных точек этой фигуры.
Фигура Ф называется замкнутой, если все ее граничные точки принадлежат Ф.
    Фигура Ф называется ограниченной, если она целиком содержится в некоторой окрестности.

    Фигура Ф называется линейно связной, если любые две ее точки можно соединить кривой, целиком содержащейся в этой фигуре.
    Фигура Ф называется выпуклой, если любые две ее точки можно соединить отрезком, целиком содержащейся в этой фигуре.

    Ясно, что выпуклая фигура является линейно связной. Обратное неверно.
    Открытая линейно связная фигура называется областью.
    Телом называется ограниченная область вместе со своей границей. Граница тела называется также его поверхностью.

    Примерами тел являются куб, параллелепипед, пирамида, шар, цилиндр, конус и др.
Среди общих свойств фигур нам понадобятся следующие.

    Свойство 1. Отрезок, соединяющий внутреннюю и внешнюю точки фигуры Ф, содержит хотя бы одну граничную точку этой фигуры.
    Доказательство. Пусть A – внутренняя и B – внешняя точка фигуры Ф. Разделим отрезок AB пополам и рассмотрим его середину C1.

Она либо принадлежит Ф, либо нет. В первом случае возьмем его правую половину C1B, во втором – левую половину AC1. Разделим полученный отрезок пополам точкой C2 и, повторив описанную выше процедуру, получим отрезок, левый конец которого принадлежит фигуре Ф, а правый нет.

Повторяя деление отрезков пополам, получим последовательность отрезков, левые концы которых принадлежат Ф, а правые – нет. Пусть Cточка пересечения всех этих отрезков. Тогда в любой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие фигуре Ф, так и точки, не принадлежащие этой фигуре.

Следовательно, C – искомая граничная точка фигуры Ф, принадлежащая отрезку AB.
    Свойство 2.Пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой.
    Доказательство. Пусть Фa- выпуклые фигуры. ФФa.

Если точки A и B принадлежат Ф, то они принадлежат каждой фигуре Фa. В силу выпуклости этих фигур, в них будет содержаться и отрезок AB. Значит он будет содержаться и в пересечении Ф Фa.
     Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е.

вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.

    Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников приведены на рисунках 1 и 2, соответственно.

    Теорема 1. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

    Действительно, грань многогранника можно представить как пересечение многогранника и плоскости, содержащей эту грань. После этого остается только воспользоваться свойством 2.

    Заметим, что обратное утверждение неверно. А именно, из того, что гранями многогранника являются выпуклые многоугольники, не следует выпуклость самого многогранника. Попробуйте привести примеры таких многогранников.

    Теорема 2.Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство. Пустьm – одна из граней выпуклого многогранника M. Предположим, что точки A и B многогранника лежат по разные стороны от плоскости этой грани.

Соединим эти точки отрезками со всеми точками m. Получим две пирамиды с вершинами A, Bи основанием m. В силу выпуклости многогранника обе пирамиды содержатся в M. Это противоречит тому, что грань m состоит из граничных точек многогранника.
    Докажем обратное.

Пусть многогранник M лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Для каждой такой плоскости a многогранник определяет полупространство Pa , в котором он находится. Следовательно, имеет место включение .
    Пусть точка B не принадлежит многограннику M.

Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку A этого многогранника и соединим ее отрезком с точкой B. По свойству 1, отрезок AB пересекается с одной из граней многогранника M. Следовательно, точки A и B лежат по разные стороны от плоскости a этой грани.

Но тогда точка B не принадлежит полупространству Pa и, значит, не принадлежит пересечению полупространств.
    Таким образом, мы доказали, что все точки многогранника принадлежат пересечению полупространств, и никакая другая точка не принадлежит этому пересечению. Поэтому имеет место равенство .

Каждое из полупространств является выпуклой фигурой. Пересечение выпуклых фигур, очевидно, выпуклая фигура. Следовательно, M – выпуклый многогранник.
    Теорему Эйлера, доказанную Л. Эйлером в 1752 г.

, историки математики называют первой теоремой топологии – раздела геометрии, который изучает свойства фигур, не меняющихся при непрерывных деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, но без разрывов или дополнительных склеек. Такие свойства называются топологическими.
    Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В – Р + Г = 2 (*),

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного многогранника.
    Соотношение Эйлера В – Р + Г = 2 для выпуклых многогранников является топологическим свойством. Многогранник можно как угодно деформировать, при этом ребра и грани могут даже искривляться, однако их число, а следовательно, и соотношение Эйлера при этом не меняются.

    Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку, содержащую Г' = Г – 1 многоугольников (которые, по-прежнему, будем называть гранями), В вершин и Р ребер.

    Для этой сетки, как было показано ранее (в курсе планиметрии), справедливо соотношение

В – Р + Г ' = 1.

Поэтому для многогранника справедливо требуемое равенство.
    Дадим еще одно доказательство теоремы Эйлера. Рассмотрим какую-нибудь сферу, содержащую данный многогранник, и из внутренней точки многогранника спроектируем его поверхность на эту сферу.

Образы ребер многогранника образуют сетку (граф) на сфере. Стянем одно из ребер этой сетки в его вершину. При этом число вершин и ребер уменьшится на единицу, а В – Р + Г не изменится. Будем повторять эту операцию для ребер с двумя вершинами.

В результате мы придем к сетке из петель с одной общей вершиной. Будем теперь убирать петли до тех пор, пока не останется одна петля. При этом каждый раз число вершин не меняется, а число ребер и граней уменьшается на единицу. Следовательно В – Р + Г не меняется.

Для одной петли на сфере очевидно имеют место равенства В = 1, Р = 1, Г = 2 и, следовательно, имеем равенство В – Р + Г = 2.

Отметим, что равенство Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников, но и для многогранников, поверхность которых гомеоморфна сфере.

На рисунке 3, а, б изображены многогранники, для которых равенство Эйлера не выполняется.

 

Многогранник на рисунке 3, а получен вырезанием маленького куба внутри большого куба. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 4. Многогранник на рисунке 3, б получен вырезанием в кубе сквозного прямоугольного отверстия. Для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

     Задача. Приведите примеры невыпуклых многогранников, поверхности которых гомеоморфны сфере.

Задача. Приведите пример многогранника, поверхность которого не гомеоморфна сфере, но для которого выполняется равенство В – Р + Г = 2.

Рассмотрим несколько следствий теоремы Эйлера о выпуклых многогранниках.

Следствие 1 . В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.   
    Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер.

Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично, обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г3 + Г4 + Г5 + … . Посчитаем число ребер Р многогранника. Имеем: 3В3 + 4В4 + 5В5 + … = 2Р, 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … = 2Р.

По теореме Эйлера выполняется равенство 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя вместо В, Р и Г их выражения, получим

4В3 + 4В4 + 4В5 + … – (3В3 + 4В4 + 5В5 + …) – (3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …) + 4Г3 + 4Г4 + 4Г5 + … = 8.

Следовательно, В3 + Г3 = 8 + В5 + … + Г5 + … , значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.      

Следствие 2. В любом выпуклом многограннике имеется грань с числом сторон, меньшим шести.

Доказательство. Обозначим через Вi число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В3 + В4 + В5 + … . Аналогично, обозначим через Гi число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер.

Предположим, что у многогранника нет граней с числом сторон, меньшим шести. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г6 + Г7 + Г8 + … . Посчитаем число ребер Р многогранника. Имеем: 3В3 + 4В4 + 5В5 + … = 2Р, 6Г6 + 7Г7 + 8Г8 + … = 2Р.

Из этих равенств следует выполнимость неравенств 3В 2Р и 6Г 2Р, из которых получаем: 3В – 3Р + 3Г  0, а по теореме Эйлера должно выполняться равенство 3В – 3Р + 3Г = 6. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение об отсутствии граней с числом сторон, меньшим шести.

Значит, в выпуклом многограннике обязательно найдется грань с числом сторон, меньшим шести.
      Задача. Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется многогранный угол с числом ребер, меньшим шести.

    Следствие 3. Для любого выпуклого многогранника имеет место формула

2 = 180(Г – 2 ) + ,

где 2 – сумма двугранных углов,  – сумма многогранных углов этого многогранника.

    Доказательство. Ранее мы доказали, что для многогранного угла SA1…An  и его двугранных углов SA1, …, SAnимеет место формула

SA1 + … +SAn= 180(n – 2) +2SA1…An

    Пусть  n1, …, nвколичества ребер, сходящихся в вершинах данного многогранника. Тогда, суммируя соответствующие равенства по всем вершинам многогранника, и учитывая, что при этом каждый двугранный угол считается дважды, получим равенство

22 = 180(n1 – 2) + … + 180(nв – 2) + 2,

где 2,  – суммы двугранных и многогранных углов данного многогранника.
    Заметим, что n1 + … + nв = 2Р. Следовательно, будем иметь равенство

2 = 180(Р – В) + ,

или, окончательно

2 = 180(Г – 2 ) + .

         Еще одной важной теоремой о выпуклых многогранниках является теорема Коши, доказанная им в 1813 г. и называемая теоремой о жесткости выпуклого многогранника.

Она утверждает, что если два выпуклых многогранника, имеют соответственно равные грани, составленные одинаковым образом, то эти многогранники равны.

При этом, слова «составленные одинаковым образом» означают, что если две грани одного многогранника имеют общее ребро, то и соответствующие им грани другого многогранника также имеют общее ребро.

         Доказательство этой теоремы можно, например, найти в книгах [2], [3].

         Для невыпуклых многогранников указанное в теореме Коши свойство перестает быть верным.

         Задача. Приведите примеры двух неравных многогранников, имеющих соответственно равные грани, составленные одинаковым образом.

    Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1938.
2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. – М.-Л.; 1950.
3. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000, с.27-31.
4. Люстерник Л.А.

Выпуклые фигуры и многогранники. – М.; 1956, с.69.
5. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
6. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
7. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М.

Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 3. Геометрия (Стереометрия). – М.; 1954, с.15, с.18 /Библиотека математического кружка, выпуск 3.
8. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. – М.; 1963.
9. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. – М.-Л.

; 1951 /Библиотека математического кружка, выпуск 4.

Источник: http://www.vasmirnov.ru/Lecture/Mnogogr/Mnogogr.htm

Теорема Эйлера о многогранниках

Теорема Л. Эйлера о многогранниках

Связаны ли как-нибудь количества вершин (В), граней (Г) и ребер (Р) многогранника? Попробуем понять. Рассмотрим некоторые многогранники, например, эти.

Рис. 1. Примеры выпуклых многогранников

Заполните таблицу – все строки или только некоторые, по своему усмотрению.

Модель 1. Характеристики многогранников

Догадались, какая связь существует между В, Г и Р?

Ответ
В + Г – Р = 2.
Убедитесь в этом сами!

Рассмотрим некоторый частный случай. Возьмем какой-нибудь многогранник и любую его грань дополним сверху такой же «крышей», как куб в нашем примере – то есть надстроим на ней, как на основании, пирамиду. Посмотрим, что при этом станет с числами В, Г и Р.

Решение
Если грань была n-угольником, то число граней многогранника увеличилось на n боковых граней пирамиды и уменьшилось на саму исходную грань, то есть в результате увеличилось на (n – 1). Число вершин увеличилось на 1. Число ребер увеличилось на n – ровно столько боковых ребер имеет пирамида.

Теперь рассмотрим другой частный случай. Отрежем у многогранника какую-нибудь вершину, как у куба в примере. Посмотрим, что при этом станет с числами В, Г и Р.

Ответ
Если в вершине сходилось n ребер, то появилась 1 новая грань в виде n-угольника, число вершин многогранника увеличилось на n вершин нового n-угольника и уменьшилось на саму исходную вершину, то есть в результате увеличилось на (n – 1). Число ребер увеличилось на n сторон новой грани.

Как нетрудно видеть, в обоих случаях выражение (В + Г – Р) не изменило значения.

Впервые формулу В + Г – Р = 2 доказал Леонард Эйлер в 1750 году.

Правда, еще около 1620 года Декарт доказал некоторые факты, из которых эта формула немедленно вытекает, а именно, он показал, что, во-первых, сумма всех углов всех граней многогранника равна 360º (Р – Г), а во-вторых, эта же сумма равна 360º (В – 2), но сам не сделал вывода о соотношении В, Г и Р, потому что его интересовали другие вещи.

Рукопись Декарта была известна Лейбницу, который сделал с нее копию, но затем была прочно забыта, пока ее не обнаружили и не опубликовали в 1860 году.

Эйлер в своем доказательстве применяет прием последовательного преобразования многогранника в более простой многогранник; в конечном итоге получается тетраэдр, для которого соотношение В + Г – Р = 2 просто проверяется.
Доказательство Эйлера годится для выпуклых многогранников. Собственно, их-то Эйлер (как и Декарт) и имел в виду в своей теореме. Тем не менее, оказывается, что его формула верна и для многих невыпуклых – например, для изображенного на рисунке. Посчитайте для него В, Г и Р.

Рис. 2. Пример невыпуклого многогранника

Ответ
В = 8, Г = 9, Р = 15, В + Г – Р = 2.

Рис. 3. Многогранник с эйлеровой характеристикой, равной 0

А вот для такого многогранника, как на следующем рисунке, формула уже неверна! Убедитесь в этом!

Ответ
В = 9, Г = 9, Р = 18, В + Г – Р = 0.

В чем же дело? Оказывается, величина (В + Г – Р) – ее называют эйлеровой характеристикой – равна 2 для любых многогранников, выпуклых или невыпуклых, но топологически эквивалентных сфере, то есть для таких, которые, если их сделать из резины и надуть, превратятся в шарики.

А вот многогранник на последнем рисунке в таком случае превратится не в шарик, а в тор – так называют математики форму, которой обладают бублик и велосипедная камера. Для всех многогранников, эквивалентных тору, эйлерова характеристика равна нулю.

Таким образом, эта характеристика является важным свойством поверхности, определяя ее топологический тип. Это доказал в 1812–1813 годах швейцарский математик Симон Люилье. Оказывается, вообще для многогранников с k «сквозными дырами» эйлерова характеристика равна (2 – 2k).

Например, у нарисованной треугольной рамки такая дыра одна, поэтому и В + Г – Р = 0. А у многогранников, топологически эквивалентных сфере (они называются простыми), дыр нет вообще.

Когда мы будем надувать наш многогранник, превращая его в сферу, его грани перестанут быть многоугольниками в строгом смысле слова – они уже не будут плоскими фигурами, и их ребра станут кривыми линиями.

Тем не менее, теорема Эйлера от этого не потеряет своей истинности. Не так важно, чтобы это был именно многогранник.

Достаточно, если это будет связный граф на данной поверхности – с вершинами, ребрами и «гранями», под этими последними теперь надо понимать замкнутые области, ограниченные ребрами графа.

Чему, интересно, равна эйлерова характеристика графа на плоскости? Оказывается, единице, – по крайней мере, для простых случаев в этом легко убедиться, хотя бы для самого простого – для графа, состоящего всего из одной вершины, очевидно, В = 1, Г = Р = 0, В + Г – Р = 1.

Но и для более сложных графов эйлерова характеристика остается такой же. Это можно проверить, постепенно, по одной, «размыкая» грани и убирая вершины вместе с ребрами (но так, чтобы граф не терял связности).

Мы, однако, предлагаем вам пойти другим путем – не упрощать граф, а усложнять его, пристраивая к нему все новые и новые ребра и вершины, образуя новые грани, и наглядно убедиться, что при любой такой операции эйлерова характеристика не поменяется.

Более того: вам предлагается построить целиком и полностью ваш собственный связный граф так, как вам заблагорассудится. Вначале вы поставите первую точку, а от нее поведете новые ребра, заканчивая их другими вершинами, либо будете соединять новыми ребрами уже имеющиеся вершины.

Итак, для плоскости эйлерова характеристика равна 1, а для сферы 2.

Что же отличает плоскость от сферы? Дело в том, что сфера замкнута и ограничена – на ней «минимальный многогранник» состоит не из одной вершины, как на плоскости, а из одной вершины и одной «грани» – этой гранью является вся оставшаяся часть сферы! Поэтому для исходного случая на сфере В = Г = 1, Р = 0, В + Г – Р = 2. А в остальном все то же самое: при добавлении новых ребер эйлерова характеристика не будет меняться, потому что каждое добавление ребра сопровождается добавлением либо новой вершины, либо новой грани (когда ребро проводится между двумя существующими вершинами). Замечание про то, что вся оставшаяся часть сферы является гранью, не является какой-то малопонятной условностью: если ее в качестве грани не рассматривать, тогда придется считать, что и у куба не 6 граней, а только 5.

Рис. 4. Граф на плоскости и на сфере

Теорема Эйлера позволяет еще одним способом доказать, что правильных многогранников всего 5. Пусть у всех граней многогранника по n сторон, и в каждой вершине сходится k граней.

Тогда общее число ребер, выходящих из всех вершин, равно kВ; поскольку ребро выходит из двух вершин, в этой сумме каждое ребро считается дважды, и на самом деле kВ = 2Р. Число всех сторон у всех граней nГ.

Так как каждое ребро принадлежит двум граням, в этой сумме его посчитали дважды, и nГ = 2Р. Отсюда В = 2Р/k, Г = 2Р/n. Подставив эти равенства в формулу Эйлера, получим: 2Р/k + 2Р/n – Р = 2, или, поделив обе части на 2Р, 1/k + 1/n – 1/2 = 1/Р, откуда 1/k + 1/n > 1/2.

Этому неравенству удовлетворяют только пять пар чисел, больших 2: k = 3 при n = 3, 4, 5, а также k = 4 и 5 при n = 3. Это и есть пять известных нам правильных многогранников.

Источник: http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/9ec3aaf6-95cd-35b0-b94e-9138604828c7/00145619754673487.htm

Book for ucheba
Добавить комментарий